ИВС и АСУТП. Гаспер Б.С - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

82
minJ = tr
P
0
R
(0)
+ (t
1
- t
0
)trψR
(1)
ψ
T
P
0
, (4.126)
где
P
0
- установившееся решение матричного уравнения Риккати (4.122).
Очевидно, что при
t
1
→ ∞ число minJ →∞.
Причина этой ситуации является неограниченная энергия случайного процесса
типа «белый шум», поэтому при t
1
→ ∞ вместо функционала (4.125) принимают
функционал
(
J
tt
M
t
T
t
t
x
=
−
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
→∞
∫
lim
1
0
1
1
10
Q ()t
x
+
T
u
)
u
dt
+
T
x
()t
1
()1
Px
()t
1
⎫
⎬
⎭
. (4.127)
Для стационарных систем этот функционал можно записать как
(
J
tt
M
t
T
t
t
x
=
−
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
→∞
∫
lim
1
0
1
1
10
Q ()t
x
+
T
u
)
u
dt
⎫
⎬
⎭
. (4.128)
4.12.Синтез стохастических систем при неполной информации
о векторе переменных состояния.
Оптимальное наблюдение (оптимальная фильтрация)
Пусть не все переменные состояния объекта (4.114) доступны непосредствен-
ному измерению и пусть, кроме того, измерение осуществляются с помехами. То-
гда объект управлениями описывается уравнениями
&
x
= A(t)x + B(t)u + ψ(t)f, x(t
0
) = x
(0)
, (4.129)
y=D(t)x + v(t), (4.130)
где как и ранее, f(t) - k - мерный вектор внешних возмущений, являющийся гаус-
совским случайным процессом типа «белый шум» с нулевым математическим
ожиданием и заданной корреляционной матрицей
R
(1)
(t); A(t), B(t), ψ(t) - задан-
ные матрицы;
y(t) - r-мерный вектор измеряемых переменных; v(t) - это r-мерный
вектор помех (шумов), также являющийся случайным процессом типа «белый
шум» с нулевым математическим ожиданием и корреляционной матрицей
R
(2)
(t’,t’’) = M{ v(t’)v
T
(t’’)}= R
(2)
(t)δ(t’-t’’), (4.131)
где R
(2)
(t) - заданная положительно-определенная матрица размеров (r x r).
Далее предполагается, что внешние возмущения и помехи возмущений неза-
висимы (не коррелированны).
Наконец, обозначим
M{
x(t
0
)} =
()0
x
; M{[ x(t
0
)-
()0
x
] [x(t
0
)-
()0
x
]
T
} =
()0
R
; (4.132)
и будем полагать, что начальные условия не зависят от возмущений и помех, а 
             minJ = trP0R(0) + (t1 - t0)trψR(1)ψTP0,                                                          (4.126)

где P0 - установившееся решение матричного уравнения Риккати (4.122).
    Очевидно, что при t1 → ∞ число minJ →∞.
    Причина этой ситуации является неограниченная энергия случайного процесса
типа «белый шум», поэтому при t1 → ∞ вместо функционала (4.125) принимают
функционал


                      ⎧⎪ t1                                                                                       ⎫
               1
                                  (x                             u) dt + x
                                       T
                    M ⎨∫
                                                          T                    T             (1)
  J = lim                                  Q (t ) x + u                            (t1 )   P x (t )               ⎬.    (4.127)
      t1 →∞ t − t
                                                                                                              1
             1    0    ⎪⎩t0                                                                                       ⎭

Для стационарных систем этот функционал можно записать как

                                ⎧⎪ t1                                                   ⎫
                         1
                                              (x                           u) dt
                                                   T
                              M ⎨∫
                                                                       T
            J = lim                                    Q (t ) x + u                     ⎬.                              (4.128)
                t1 →∞ t − t
                       1    0    ⎪⎩t0                                                   ⎭


         4.12.Синтез стохастических систем при неполной информации
                       о векторе переменных состояния.
             Оптимальное наблюдение (оптимальная фильтрация)

    Пусть не все переменные состояния объекта (4.114) доступны непосредствен-
ному измерению и пусть, кроме того, измерение осуществляются с помехами. То-
гда объект управлениями описывается уравнениями
               x& = A(t)x + B(t)u + ψ(t)f, x(t0) = x(0),          (4.129)
                      y=D(t)x + v(t),                           (4.130)

где как и ранее, f(t) - k - мерный вектор внешних возмущений, являющийся гаус-
совским случайным процессом типа «белый шум» с нулевым математическим
ожиданием и заданной корреляционной матрицей R(1)(t); A(t), B(t), ψ(t) - задан-
ные матрицы; y(t) - r-мерный вектор измеряемых переменных; v(t) - это r-мерный
вектор помех (шумов), также являющийся случайным процессом типа «белый
шум» с нулевым математическим ожиданием и корреляционной матрицей

              R(2)(t’,t’’) = M{ v(t’)vT(t’’)}= R(2)(t)δ(t’-t’’),                                                        (4.131)

где R(2)(t) - заданная положительно-определенная матрица размеров (r x r).
    Далее предполагается, что внешние возмущения и помехи возмущений неза-
висимы (не коррелированны).
    Наконец, обозначим

                       ( 0)                               ( 0)                 ( 0) T              ( 0)
    M{x(t0)} =     x          ;        M{[ x(t0)- x              ] [x(t0)- x       ] } =     R            ;             (4.132)

и будем полагать, что начальные условия не зависят от возмущений и помех, а



                                                                                                                                  82

Страницы