ИВС и АСУТП. Гаспер Б.С - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

80
P(t
1
) = P
(1)
. (4.111)
Уравнение (4.110) называется матричным дифференциальным уравнением
Риккати.
Переходя к решению уравнения (4.110), введем «новое время» τ = t
1
- t и обо-
значим
P(t) = P(t
1
- τ) =
P
(τ). Тогда (4.110) и (4.111) примут вид
d
P
(τ)/dτ =
P
(τ) A(t
1
- τ) + A
T
(t
1
- τ)
P
(τ) -
P
(τ) B(t
1
- τ) B
T
(t
1
- τ)
P
(τ) + Q(t
1
- τ); (4.112)
P(0) = P
(1)
. (4.113)
Таким образом, краевая задача для уравнения (4.110) свелась путем ведения ново-
го (обратного) времени к задаче решения уравнения (4.112) с известным началь-
ным условием (4.113). Для его численного решения можно использовать любой
из известных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравне-
ний (метод Рунге-Кутта, Эйлера и т.п.)
Решив уравнение (4.112), найдем искомую матрицу
C(t) = -
P
(t
1
- t)B(t).
4.11. Оптимальное управление при случайных внешних возмущениях
и измеряемом векторе состояний
Рассмотрим нестационарный объект управления
&
x
= A(t)x + B(t)u + ψ(t)f, x(t
0
) = x
(0)
, (4.114)
где
f(t)-k - мерный вектор внешних возмущений, являющийся гауссовским слу-
чайным процессом типа «белый шум». Здесь и далее будем полагать, что матема-
тическое ожидание
M{
f(t)} = 0. (4.115)
Корреляционная матрица этого процесса
R
f
(t’,t’’) = M{f(t’)f
T
(t’’)} = R
(1)
(t)δ(t’ - t’’), (4.116)
где R
(1)
(t) - положительно-определенная размерности (k x k), характеризующая
интенсивность «белого шума» в момент времени t’. Здесь
δ(t’ - t’’) =
∞=
≠
⎧
⎨
⎩
, ' '',
,'''.
tt
tt0
(4.117)
Пусть начальное состояние
x
(0)
также является гауссовским случайным векто-
ром, не зависящим от внешних возмущений и имеющим при M{
x
(0)
}=0 корреля-
ционную матрицу
M{
x
(0)
(x
(0)
)
T
}= R
(0)
. (4.118)
Рассмотрим критерий 
                              P(t1) = P(1).                    (4.111)

    Уравнение (4.110) называется матричным дифференциальным уравнением
Риккати.
    Переходя к решению уравнения (4.110), введем «новое время» τ = t1 - t и обо-
значим P(t) = P(t1 - τ) = P (τ). Тогда (4.110) и (4.111) примут вид

        d P (τ)/dτ = P (τ) A(t1 - τ) + AT(t1 - τ) P (τ) -
         P (τ) B(t1 - τ) BT(t1 - τ) P (τ) + Q(t1 - τ);          (4.112)
                          P(0) = P(1).                         (4.113)

Таким образом, краевая задача для уравнения (4.110) свелась путем ведения ново-
го (обратного) времени к задаче решения уравнения (4.112) с известным началь-
ным условием (4.113). Для его численного решения можно использовать любой
из известных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравне-
ний (метод Рунге-Кутта, Эйлера и т.п.)
    Решив уравнение (4.112), найдем искомую матрицу
                     C(t) = - P (t1 - t)B(t).


    4.11. Оптимальное управление при случайных внешних возмущениях
                     и измеряемом векторе состояний

   Рассмотрим нестационарный объект управления

             x& = A(t)x + B(t)u + ψ(t)f, x(t0) = x(0),         (4.114)

где f(t)-k - мерный вектор внешних возмущений, являющийся гауссовским слу-
чайным процессом типа «белый шум». Здесь и далее будем полагать, что матема-
тическое ожидание
                      M{f(t)} = 0.                      (4.115)
Корреляционная матрица этого процесса

          Rf(t’,t’’) = M{f(t’)fT(t’’)} = R(1)(t)δ(t’ - t’’),     (4.116)

где R(1)(t) - положительно-определенная размерности (k x k), характеризующая
интенсивность «белого шума» в момент времени t’. Здесь
                                 ⎧ ∞ , t ' = t '',
                   δ(t’ - t’’) = ⎨                          (4.117)
                                 ⎩ 0, t ' ≠ t ' '.
    Пусть начальное состояние x(0) также является гауссовским случайным векто-
ром, не зависящим от внешних возмущений и имеющим при M{x(0)}=0 корреля-
ционную матрицу
                    M{x(0)(x(0))T}= R(0).                   (4.118)

Рассмотрим критерий




                                                                             80

Страницы