ИВС и АСУТП. Гаспер Б.С - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

81
J = M
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
t
t
0
1
∫
[(x
T
Q(t)x + u
Т
u]dt + x
T
(t
1
)P
(1)
x(t
1
)
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
, (4.119)
где
Q(t) - положительно-определенная матрица.
Требуется найти управление
u(t) как функцию текущей и прошлой информа-
ции об
x(t), при котором (4.119 ) принимает наименьшее значение.
Так как текущая информация об
x(t) носит случайный характер, то и форму-
лируемое на ее основе оптимальное уравнение будет случайным (стохастическим)
управлением.
Неожиданным оказывается тот факт, что наличие «белого шума» в уравнении
(4.114) не изменяет оптимального управления, которое было получено ранее (в
разд. 4.10) при отсутствии внешних возмущений. Изменяется лишь значение ми-
нимума критерия. Сформулируем этот результат.
Утверждение
4.1. Оптимальное стохастическое управление для объекта
(4.114), при котором функционал (4.119) принимает наименьшее значение, имеет
вид
u = C
T
(t)x, (4.120)
где
C(t) = -P(t)B(t); (4.121)
P(t) - решение матричного уравнения Риккати
−
&
P
(t)=P(t)A(t) + A
T
(t)P(t) - P(t)B(t)B
T
(t)P(t) + Q(t) (4.122)
при краевом условии
P(t
1
) = P
(1)
. (4.123)
Значение функционала (4.119) при управлении (4.120) определяется выражение
tr{
P(t
0
)R
(0)
+
t
t
0
1
∫
ψ(t)R
(1)
(t)ψ
T
(t)P(t)dt}. (4.124)
В этом выражении запись tr
A означает след квадратной матрицы A. По определе-
нию
trA =
ii
i
n
a
=
∑
1
,
где
ii
a
(
in= 1, )
- диагональные элементы матрицы A.
Рассмотрим теперь стационарный случай, когда матрицы, входящие в уравне-
ние объекта (4.114), и функционал (4.119) постоянны, а интенсивность стационар-
ного «белого шума» характеризуется матрицей
R
(1)
. Наименьшее значение функ-
ционала оптимизации имеет вид
minJ = tr{
P(t
0
)R
(0)
+
t
t
0
1
∫
ψR
(1)
ψ
T
P(t)dt}. (4.125)
Во многих практических случаях время функционирования системы велико. Тогда
полагают в функционале оптимизации
t
1
→ ∞ и значение функционала 
              ⎧⎪ t1                                   ⎫⎪
       J = M ⎨ ∫ [(xTQ(t)x + uТu]dt + xT(t1)P(1)x(t1) ⎬ ,  (4.119)
               ⎪⎩ t0                                   ⎪⎭
где Q(t) - положительно-определенная матрица.
    Требуется найти управление u(t) как функцию текущей и прошлой информа-
ции об x(t), при котором (4.119 ) принимает наименьшее значение.
    Так как текущая информация об x(t) носит случайный характер, то и форму-
лируемое на ее основе оптимальное уравнение будет случайным (стохастическим)
управлением.
    Неожиданным оказывается тот факт, что наличие «белого шума» в уравнении
(4.114) не изменяет оптимального управления, которое было получено ранее (в
разд. 4.10) при отсутствии внешних возмущений. Изменяется лишь значение ми-
нимума критерия. Сформулируем этот результат.
    Утверждение 4.1.     Оптимальное стохастическое управление для объекта
(4.114), при котором функционал (4.119) принимает наименьшее значение, имеет
вид

                              u = CT(t)x,                                  (4.120)

где
                           C(t) = -P(t)B(t);                               (4.121)

      P(t) - решение матричного уравнения Риккати

      − P& (t)=P(t)A(t) + AT(t)P(t) - P(t)B(t)BT(t)P(t) + Q(t)             (4.122)

при краевом условии
                             P(t1) = P(1).                                 (4.123)

Значение функционала (4.119) при управлении (4.120) определяется выражение
                                  t1

                 tr{P(t0)R(0) +   ∫
                                  t0
                                            ψ(t)R(1)(t)ψT(t)P(t)dt}.        (4.124)

В этом выражении запись trA означает след квадратной матрицы A. По определе-
нию
                                        n

                          trA =    ∑a  i =1
                                               ii   ,

где   a   ii
               ( i = 1, n ) - диагональные элементы матрицы A.
    Рассмотрим теперь стационарный случай, когда матрицы, входящие в уравне-
ние объекта (4.114), и функционал (4.119) постоянны, а интенсивность стационар-
ного «белого шума» характеризуется матрицей R(1). Наименьшее значение функ-
ционала оптимизации имеет вид
                                                    t1

                 minJ = tr{P(t0)R(0) +              ∫
                                                    t0
                                                         ψR(1)ψTP(t)dt}.    (4.125)

Во многих практических случаях время функционирования системы велико. Тогда
полагают в функционале оптимизации t1 → ∞ и значение функционала



                                                                                      81

Страницы