Введение в теорию многозначных отображений. Часть 2. Неподвижные точки многозначных сжимающих отображений. Гельман Б.Д. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

= inf
α
1
∈R
1
max{|b − a + α
1
|, |α
1
|} =
b − a
2
.
||y
0
||
L
1
= b − a
1
2
||y
0
||
L
1
= inf
α∈E
n
{||x||
C
| x ∈ d
−1
(y
0
)}.
||d
−1
|| =
1
2
a
−1
: E
2
→ Cv(E
1
) a
−1
(y) =
{x ∈ E
1
| a(x) = y}.
a
−1
||a
−1
||
h(a
−1
(x
1
), a
−1
(x
2
)) ≤ ||a
−1
|| ||x
1
− x
2
||.
x
1
, x
2
∈ E
2
h(a
−1
(x
1
), a
−1
(x
2
)).
h(a
−1
(x
1
), a
−1
(x
2
)) = inf{ ||z
1
− z
2
|| | z
1
∈ a
−1
(x
1
), z
2
∈ a
−1
(x
2
) } =
= inf{ ||z
1
− z
2
|| | z
1
− z
2
∈ a
−1
(x
1
− x
2
) } ≤ ||a
−1
|| ||x
1
− x
2
||.
E
1
, E
2
a : D(a) → E
2
f : E
1
→ E
2
c > 0 x
1
, x
2
∈ E
1
||f(x
1
) − f(x
2
)|| ≤ c||x
1
− x
2
||.
a(x) = f(x). (1)
N(a, f)
N(a, f) = {x ∈ E
1
| a(x) = f(x)}.
c <
1
||a
−1
||
N(a, f)
E
1
x ∈ F (x) F (x) = a
−1
(f(x)) F
h(F (x); F (y)) = ρ
∗
(F (x), F (y)) = ρ
∗
(F (y), F (x)) =
= inf{ ||z
1
− z
2
|| | z
1
∈ F (x), z
2
∈ F (y) } =
= inf{ ||z
1
− z
2
|| | a(z
1
− z
2
) = f(x) − f(y) } ≤
≤ ||a
−1
|| ||f(x) − f(y)|| ≤ ||a
−1
|| c||x − y||.
                                                               b−a
                     = inf 1 max{|b − a + α1 |, |α1 |} =           .
                        α1 ∈R                                   2
� ������ �������� ||y0 ||L1 = b − a� ��������������
                        1
                          ||y0 ||L1 = infn {||x||C | x ∈ d−1 (y0 )}.
                        2            α∈E

����� �������� ||d−1 || = 12 � ����������� ���������
   ������ ������ ������������ ����������� a−1 : E2 → Cv(E1 )� a−1 (y) =
{x ∈ E1 | a(x) = y}.
   ����� �� ����������� a−1 �������� ���������� ������������ ���������
���� � ���������� ������� ||a−1 ||� ����
                      h(a−1 (x1 ), a−1 (x2 )) ≤ ||a−1 || ||x1 − x2 ||.


  ��������������� ����� x1 , x2 ∈ E2 � �������� h(a−1 (x1 ), a−1 (x2 )). ����
������ ����

      h(a−1 (x1 ), a−1 (x2 )) = inf{ ||z1 − z2 || | z1 ∈ a−1 (x1 ), z2 ∈ a−1 (x2 ) } =
         = inf{ ||z1 − z2 || | z1 − z2 ∈ a−1 (x1 − x2 ) } ≤ ||a−1 || ||x1 − x2 ||.

���    ��������� � ���������� ������������� ����������� ��
      ���� �������������
����� E1 , E2 � ��� ��������� ������������� a : D(a) → E2 � ���������
�������� ������������ ��������� f : E1 → E2 � ��������� ������������
���� ���������� ��������� c > 0� ������ ��� ��� ����� x1 , x2 ∈ E1 ���������
������������ ||f (x1 ) − f (x2 )|| ≤ c||x1 − x2 ||.
   ���������� ��������� ����������

                                      a(x) = f (x).                                      (1)
��������� N (a, f ) ��������� ������� ��������� ���� ����

                         N (a, f ) = {x ∈ E1 | a(x) = f (x)}.
  ������� ��   ���� c < ||a 1 || � �� ��������� ������� N (a, f ) ���������
                                 −1

��� ������� � �������� ��������� ������������ E1 �
  ��������������� ��������� ��� ��������� ��� ������������ ���������
x ∈ F (x)� ��� F (x) = a−1 (f (x))� �������� ������������ ����������� F ����
�� ����������� ������ ��� ����� �������� ��� ��� �������� ����������
��������������

               h(F (x); F (y)) = ρ∗ (F (x), F (y)) = ρ∗ (F (y), F (x)) =
                    = inf{ ||z1 − z2 || | z1 ∈ F (x), z2 ∈ F (y) } =
                  = inf{ ||z1 − z2 || | a(z1 − z2 ) = f (x) − f (y) } ≤
                    ≤ ||a−1 || ||f (x) − f (y)|| ≤ ||a−1 || c||x − y||.

                                            ��

Страницы