Введение в теорию многозначных отображений. Часть 2. Неподвижные точки многозначных сжимающих отображений. Гельман Б.Д. - 14 стр.

                                                               b−a
                     = inf 1 max{|b − a + α1 |, |α1 |} =           .
                        α1 ∈R                                   2
� ������ �������� ||y0 ||L1 = b − a� ��������������
                        1
                          ||y0 ||L1 = infn {||x||C | x ∈ d−1 (y0 )}.
                        2            α∈E

����� �������� ||d−1 || = 12 � ����������� ���������
   ������ ������ ������������ ����������� a−1 : E2 → Cv(E1 )� a−1 (y) =
{x ∈ E1 | a(x) = y}.
   ����� �� ����������� a−1 �������� ���������� ������������ ���������
���� � ���������� ������� ||a−1 ||� ����
                      h(a−1 (x1 ), a−1 (x2 )) ≤ ||a−1 || ||x1 − x2 ||.


  ��������������� ����� x1 , x2 ∈ E2 � �������� h(a−1 (x1 ), a−1 (x2 )). ����
������ ����

      h(a−1 (x1 ), a−1 (x2 )) = inf{ ||z1 − z2 || | z1 ∈ a−1 (x1 ), z2 ∈ a−1 (x2 ) } =
         = inf{ ||z1 − z2 || | z1 − z2 ∈ a−1 (x1 − x2 ) } ≤ ||a−1 || ||x1 − x2 ||.

���    ��������� � ���������� ������������� ����������� ��
      ���� �������������
����� E1 , E2 � ��� ��������� ������������� a : D(a) → E2 � ���������
�������� ������������ ��������� f : E1 → E2 � ��������� ������������
���� ���������� ��������� c > 0� ������ ��� ��� ����� x1 , x2 ∈ E1 ���������
������������ ||f (x1 ) − f (x2 )|| ≤ c||x1 − x2 ||.
   ���������� ��������� ����������

                                      a(x) = f (x).                                      (1)
��������� N (a, f ) ��������� ������� ��������� ���� ����

                         N (a, f ) = {x ∈ E1 | a(x) = f (x)}.
  ������� ��   ���� c < ||a 1 || � �� ��������� ������� N (a, f ) ���������
                                 −1

��� ������� � �������� ��������� ������������ E1 �
  ��������������� ��������� ��� ��������� ��� ������������ ���������
x ∈ F (x)� ��� F (x) = a−1 (f (x))� �������� ������������ ����������� F ����
�� ����������� ������ ��� ����� �������� ��� ��� �������� ����������
��������������

               h(F (x); F (y)) = ρ∗ (F (x), F (y)) = ρ∗ (F (y), F (x)) =
                    = inf{ ||z1 − z2 || | z1 ∈ F (x), z2 ∈ F (y) } =
                  = inf{ ||z1 − z2 || | a(z1 − z2 ) = f (x) − f (y) } ≤
                    ≤ ||a−1 || ||f (x) − f (y)|| ≤ ||a−1 || c||x − y||.

                                            ��