Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных. Гиль Л.Б - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

32
2.
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
2.1.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Пусть
задана
поверхность
,
определяемая
неявным
уравнением
(
)
; ; 0
F x y z
=
,
где
(
)
;
z f x y
=
,
и
точка
(
)
; ;
M x y z
на
этой
поверхно
-
сти
,
причём
функция
(
)
; ;
F x y z
дифференцируема
по
всем
независимым
переменным
в
точке
(
)
; ;
M x y z
.
Касательной плоскостью
к
данной
поверхности
в
точке
0
M
на
-
зывается
плоскость
,
в
которой
лежат
все
касательные
,
проведённые
к
любой
кривой
,
принадлежащей
поверхности
и
проходящей
через
эту
точку
.
Уравнение
касательной
плоскости
имеет
вид
0 0 0 0 0 0
( )( ) ( )( ) ( )( ) 0
x y z
F M x x F M y y F M z z
′ ′ ′
− + − + − =
. (5)
Координатами
вектора
нормали
касательной
плоскости
являются
значения
частных
производных
функции
(
)
; ;
F x y z
в
точке
0
M
.
Нормалью к
поверхности
в
точке
0
M
называется
прямая
,
прохо
-
дящая
через
точку
касания
,
перпендикулярно
касательной
плоскости
.
Нормаль
к
поверхности
,
заданной
неявно
,
определяется
уравнени
-
ем
:
0 0 0
0 0 0
,
( ) ( ) ( )
x y z
x x y y z z
F M F M F M
− − −
= =
′ ′ ′
(6)
Если
поверхность
задана
явно
(
)
;
z z x y
=
,
то
уравнение
касатель
-
ной
плоскости
к
поверхности
имеет
вид
:
0 0 0 0 0
( )( ) ( )( ) ( )
x y
z M x x z M y y z z
′ ′
− + − = −
. (7)
Направляющим
вектором
нормали
является
вектор
нормали
каса
-
тельной
плоскости
.

Страницы