Дифференциальные уравнения. Гиль Л.Б - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4
ВВЕДЕНИЕ.
Термин «дифференциальное уравнение» был предложен
Г.В. Лейбницем в 1676 г. Впервые исследования обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений были проведены в конце 17 в. в связи с изуче-
нием проблем механики и некоторых геометрических задач.
Понятие дифференциального уравнения − ключевое для приложе-
ний математики к различным областям естествознания и, в особенности,
к физике и механике. Дифференциальные уравнения описывают движе-
ние тел в силовых полях (например, заряда в электромагнитном поле),
динамику жидкости и газов (например, атмосферы и океана, без чего
невозможно предсказание погоды), распространение тепла и многое
другое. Рассмотрим задачи, приводящие к соотношениям (связям) меж-
ду неизвестной функцией (или функциями) и её производными, т. е. к
дифференциальным уравнениям.
Пример 1 (поле скоростей). Пусть тело движется на плоскости и в
каждой точке известна его скорость
( ( ; ), ( ; ))
v a x y b x y
=
. Как по этим
данным восстановить траекторию тела? Пусть искомая траектория зада-
ётся параметрическими уравнениями
( )
x x t
=
,
( )
y y t
=
, где
− время.
Поскольку скорость движения по кривой − это производные координат
по параметру, мы приходим к системе дифференциальных уравне-
ний:
( ; ), ( ; )
dx dy
a x y b x y
dy dx
= = . Например, если
2
k
a
x
=
,
2
k
b
y
= −
, то тело
будет двигаться по эллипсам
2 2
2 2
2 2
x y
const
k l
+ =
, а в случае
2
k
a
x
=
,
2
k
b
y
=
траекториями будут гиперболы
2 2
2 2
2 2
x y
const
k l
− =
.

Страницы