Дифференциальные уравнения. Гиль Л.Б - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

5
Пример
2
(движение в поле сил). Пусть к каждой точке плоскости
приложена сила
( ( ; ), ( ; ))
F f x y q x y
=
. Тогда движение материальной
точки массы
m
под действием силы
F
подчиняется второму закону
Ньютона
F ma
=
, где
a
− ускорение материальной точки. Поскольку
вектор ускорения есть вторая производная радиус-вектора точки (про-
изводная скорости по времени), уравнения движения запишутся в виде:
2 2
2 2
( ; ), ( ; )
d x d y
dt dt
= =
. (*)
Например, если материальное тело движется в гравитационном
поле, источником которого является тело с массой
M
, значительно
превышающей
m
, и находящееся в начале координат, по закону все-
мирного тяготения уравнения движения будут иметь вид:
2 2
2 2 2 2 2 2
,
d x x d y y
dt x y dt x y
γ γ
= − = −
+ +
,
где
γ
−
гравитационная
постоянная
.
Если
массы
движущихся
тел
срав
-
нимы
по
величине
(
как
,
например
,
в
случае
двойных
звёзд
),
то
уравне
-
ния
движения
станут
более
сложными
и
будут
содержать
четыре
неиз
-
вестные
функции
.
Замечание
.
Не
следует
думать
,
что
в
уравнениях
(*)
величина
m
всегда
постоянна
.
Например
,
если
эти
уравнения
описывают
полёт
ра
-
кеты
,
то
масса
убывает
из
-
за
сгорания
топлива
.
Пример
3 (
закон
Гука
).
Этот
закон
гласит
,
что
сила
реакции
пру
-
жины
(
сила
упругости
)
пропорциональна
длине
её
растяжения
.
Пусть
вся
масса
пружины
сосредоточена
на
одном
из
её
концов
и
равна
m
.
Если
пружину
«
привязать
»
другим
концом
к
началу
координат
и
растя
-

Страницы