ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
77
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Типы дифференциальных уравнений II порядка и способы их решения
Таблица 2
№
Название и вид ДУ
n
-го по-
рядка
Определяющий признак ДУ, способ решения
1 2 3
1
Дифференциальные
уравнения
высших
порядков
,
допускаю
-
щие
понижение
порядка
Тип I)
(
)
(
)
n
y f x
= .
Метод
последовательного
интегрирования
:
(
)
(
)
1
1
n
y f x dx c
−
= +
∫
.
Тип II)
( ) ( )
(
)
, ,..., 0.
k n
F x y y
=
используется
подстановка
(
)
(
)
(
)
,...,
1
vyxvy
kk
′
==
+
.
Тип III)
(
)
(
)
(
)
.0,...,
=
nk
yyyF
Используется
подстановка
(
)
(
)
,
yvy
k
=
(
)
,...
1
vvy
y
k
⋅
′
=
+
.
2
Линейные
однородные
ДУ
n-
го
порядка
с
постоянными
коэф
-
фициентами
:
(
)
(
)
,0.....
1
1
=++
−
yayay
n
nn
i
a const
=
для
всех
1,2,...,
i n
=
Решение
ищут
в
виде
kx
ey =
,
где
k –
корень
ха
-
рактеристического
уравнения
.0...
1
1
=+++
−
n
nn
akak
а
)
Если
корни
действительные
и
различные
:
,....
21
n
kkk ≠≠≠
то
общее
решение
;....
21
21
xk
n
xkxk
n
ecececy +++=
б
)
если
корни
действительные
и
кратные
,....
21
kkkk
n
===
то
общее
решение
:
(
)
;....
1
21
−
+++=
n
n
kx
xcxccey
в
)
если
среди
корней
есть
пара
комплексно
–
сопряженных
,
2,1
βα
ik ±=
,,...,
3
n
kk
то
общее
решение
:
(
)
....sincos
3
321
xk
n
xk
x
n
ececxcxcey ++++=
ββ
α
3
Линейные
неоднородные
ДУ
n-
го
порядка
с
постоянными
ко
-
эффициентами
:
(
)
(
)
(
)
1
1
.....
n n
n
y a y a y f x
−
+ + =
(
)
0
f x
≡
,
i
a const
=
для
всех
1,2,...,
i n
=
1)
Решение
ищут
в
виде
:
*
y y y
= +
,
где
y
–
общее
решение
однородного
ДУ
(
)
(
)
0
f x
=
;
*
y
–
частное
решение
неоднородного
ДУ
,
кото
-
рое
подбирается
в
зависимости
от
специального
вида
(
)
f x
.
2)
Метод
Лагранжа
(
вариации
произвольных
по
-
стоянных
)
