Дифференциальные уравнения. Гиль Л.Б - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

75
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Основные типы дифференциальных уравнений I порядка и методы их интег-
рирования
Таблица 1
№ Название и вид ДУ
I порядка
Определяющий признак ДУ, способ решения
1 2 3
1
Уравнение с разделяющимися
переменными
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2
0
f x f y dx x y dy
ϕ ϕ
+ =
Каждый из множителей
i
f
и
ϕ
,
1,
i
=
2
зависит
только
от
одной
переменной
.
Решение
:
(
)
( )
(
)
( )
1 2
1 2
.
f x y
dx dy c
x f y
ϕ
ϕ
= − +
∫ ∫
2
Однородное
уравнение
:
( )
, 1,
y
y f x y f
x
′
= =
(
)
,
f x y
–
однородная
функция
нулевого
изме
-
рения
(
)
(
)
0
, ,
f x y f x y
λ λ λ
⋅ ⋅ =
.
Решение
:
уравнение
приводится
к
предыдущему
типу
с
помощью
подстановки
,
y
t
x
=
(
)
(
)
.
y t x x t x
′ ′
= + ⋅
3
Уравнения, приводящиеся к
однородным
1 1 1
2 2 2
a x b y c
y f
a x b x c
+ +
′
=
+ +
а)
1 1
2 2
;
a b
a b
≠
б)
1 1
2 2
a b
a b
=
Решение: а) уравнение приводится к однородно-
му с помощью замены
0
0
,
,
x x u
y y v
= +
= +
где
(
)
0 0
,
x y
находят из решения системы урав-
нений
1 1 1
2 2 2
0,
0,
a x b y c
a x b y c
+ + =
+ + =
;
dv
y
du
′
=
б) замена
1 1
;
z a x b y
= +
1
y z a
′ ′
= −
4
Линейное уравнение:
(
)
(
)
y P x y Q x
′
+ ⋅ =
Решение: а) методом Лагранжа (вариации произ-
вольной постоянной).
1)
(
)
0,
y P x y
′
+ ⋅ =
его общее решение
(
)
, ;
y y x c
=
2) полагая
(
)
с с x
= и
(
)
(
)
,
y y x c x
= ,
находим
общее
решение
ДУ
:
(
)
(
)
.
y P x y Q x
′
+ ⋅ =
б
)
Методом
подстановки
Бернулли
:
(
)
(
)
,
y u x v x
= ⋅
где
(
)
u x
,
(
)
v x
определяются
из
уравнений
(
)
( )
0
.
v P x v
u v Q x
′
+ ⋅ =
′
⋅ =

Страницы