Дифференциальные уравнения. Гиль Л.Б - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

76
Продолжение таблицы 1
1 2 3
5
Уравнение
Бернулли
:
(
)
(
)
,
n
y P x y Q x y
′
+ ⋅ = ⋅
0, 1
n
Решение: 1)
разделив
ДУ
на
n
y
и
сделав
подста
-
новку
1
1
,
n
z
y
−
=
(
)
1
1 ,
n
z n y y
−
′ ′
= − ⋅ ⋅
получить
линейное
ДУ
:
( ) ( )
1
;
z P x z Q x
′
+ ⋅ =
−
2)
проинтегрировать
последнее
уравнение
одним
из
методов
предыдущего
пункта
.
Замечание
. Поскольку
доказано
,
что
ДУ
Бернул
-
ли
сходится
к
линейному
,
можно
его
интегриро
-
вать
любым
из
методов
(
Бернулли
или
Лагран
-
жа
),
минуя
процедуру
сведения
к
линейному
ДУ
.
6
Уравнение
в
полных
диффе
-
ренциалах
:
(
)
(
)
, , 0
P x y dx Q x y dy
+ =
Признак:
.
P Q
y x
∂ ∂
=
∂ ∂
Решение:
(
)
(
)
, 0 , ,
du x y u x y c
= ⇒ =
( ) ( ) ( )
0 0
0
, , ,
y
x
x y
u x y P x y dx Q x y dy
= +
∫ ∫
.
7
Уравнения
,
допускающие
ин
-
тегрирующий
множитель
(
)
x
µ µ
=
или
(
)
:
y
µ µ
=
(
)
(
)
, , 0
P x y dx Q x y dy
+ =
Решение:
если
,
p Q
y x
∂ ∂
≠
∂ ∂
то
умножение
обеих
частей
уравнения
на
( )
1
,
P Q
dx
Q y x
x e
µ
∂ ∂
−
∂ ∂
∫
= ,
( )
1 P Q
dy
P y x
y e
µ
∂ ∂
− −
∂ ∂
∫
=
приводят
ДУ
к
уравнению
в
полных
дифференциалах
.
8
Уравнения
,
не
разрешённые
относительно
y
′
Решение:
сделать
замену
y p
=
.
Решение
найти
в
параметрическом
виде
.
9
Уравнение
Лагранжа
(
)
(
)
y x y y
ϕ ψ
′ ′
= +
Решение:
метод
введения
параметра
y p
=
.
Об
-
щее
решение
записывается
в
параметрическом
виде
(
)
(
)
,
x cf p q p
= +
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
.
y cf p q p p p
ϕ ψ
= + +
10
Уравнение
Клеро
(
)
y xy y
ψ
′ ′
= +
Решение:
ввести
параметр
y p
=
.
Общее
реше
-
ние
уравнения
имеет
вид
(
)
.
y cx c
ψ
= +
особое
решение
найти
из
системы
(
)
( )
,
.
x p
y px p
ψ
ψ
′
= −
= +

Страницы