Определённый интеграл. Гиль Л.Б - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

6
0 0
( ) ( ) ( )
lim lim ( )
x x
S x x S x S x
f x
x x
∆ → ∆ →
+ ∆ − ∆
= =
∆ ∆
или
( ) ( )
S x f x
′
=
,
т. e.
S x
– первообразная для
( )
f x
. Отсюда, согласно основному
свойству первообразных, для всех
[
]
;
x a b
∈
имеем
:
( ) ( )
S x F x C
= =
,
где
C –
некоторая
постоянная
,
F
–
одна
из
первообразных
функции
f
.
Чтобы
найти
C
,
подставим
x a
=
:
( ) ( ) 0
F a C S a
+ = =
,
отсюда
( )
C F a
= −
и
( ) ( ) ( )
S x F x F a
= −
.
Так
как
площадь
криволинейной
трапеции
равна
S b
,
то
подставляя
x a
=
,
получим
:
( ) ( ) ( )
S S b F b F a
= = −
.
Определённый интеграл.
Рассмотрим
другой
способ
вычисления
площади
криволинейной
трапеции
.
Разделим
отрезок
[
]
;
a b
на
n
отрезков
равной
длины
точками
0 1 2 3 1
...
n n
x a x x x x x b
−
= < < < < < < =
и
пусть
1
( )/
k k
x b a n x x
−
∆ = − = −
,
где
1, 2,... 1,
k n n
= −
.
В
каждом
из
отрезков
[
]
1
;
k k
x x
−
как
на
основании
построим
прямоугольник
высотой
1
( )
n
f x
−
.
Площадь
этого
прямоугольника
равна
:
1 1
( ) ( )
k k
b a
f x x f x
n
− −
−
∆ = ,
а
сумма
площадей
этих
прямоугольников
равна
[ ]
0 1 1
( ) ( ) ( ) ... ( )
n
b a
S n f x f x f x
n
−
−
= + + (
рис
. 2).
Ввиду
непрерывности
функции
( )
f x
объединение
построенных
прямоугольников
при
большом
n
(
т
.e.
при
малом
x
∆
) «
почти
совпадает
»
с
нашей
криволинейной
трапецией
.
Поэтому
,
n
S S
→
при
больших
значениях
n
.
Это
значит
,
что
n
S S
→
при
n
→ ∞
. Этот
предел
называется
интегралом
функции
( )
f x
от
a
до
b
или
определённым

Страницы