ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
27
Теоремы о пределах
Теорема 1. Основная теорема о пределах:
а) Прямая теорема. Если функция
( )
y f x
=
при
0
x x
→
имеет пре-
делом число А, то в окрестности этой точки ее можно представить в ви-
де суммы постоянного числа А, равного пределу функции, и бесконечно
малой величины
( )
x
α
, т.е. если
0
lim ( ) ,
x x
f x A
→
=
то
( ) ( )
f x A x
α
= +
;
b)
Обратная
теорема
.
Если
функцию
( )
y f x
=
в
окрестности
точки
0
x
можно
представить
в
виде
суммы
постоянного
числа
А
и
бесконечно
малой
величины
( )
x
α
,
то
это
постоянное
число
есть
предел
функции
при
0
x x
→
,
т
.
е
.
если
( ) ( ),
f x A x
α
= +
то
0
lim ( ) .
x x
f x A
→
=
Теорема 2.
Об
единственности
предела
Если
функция
имеет
предел
,
то
только
один
.
Теорема 3.
О
пределе
константы
Если
функция
сохраняет
постоянное
значение
для
всех
x
,
т
.
е
.
( )
f x const
=
,
то
предел
этой
функции
равен
этой
константе
0
lim .
x x
C C
→
=
Или
говорят
:
предел
константы
равен
самой
константе
.
Пусть
0 0
lim ( ) , lim ( )
x x x x
f x A g x B
→ →
= =
,
тогда
имеют
место
следующие
теоремы
:
Теорема 4.
О
пределе
суммы
(
разности
)
двух
функций
Предел
суммы
(
разности
)
двух
функций
,
имеющих
предел
,
равен
сумме
(
разности
)
пределов
этих
функций
{
}
0 0 0
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) .
x x x x x x
f x g x f x g x A B
→ → →
± = ± = ±
Теорема 5.
О
пределе
произведения
двух
функций
Предел
произведения
двух
функций
,
имеющих
предел
,
равен
про
-
изведению
пределов
этих
функций
{
}
0 0 0
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) .
x x x x x x
f x g x f x g x A B
→ → →
⋅ = ⋅ = ⋅
Следствие
.
Постоянный
множитель
можно
выносить
за
знак
предела
{
}
0 0
lim ( ) lim ( ) .
x x x x
C f x C f x C A
→ →
⋅ = ⋅ = ⋅
Теорема 6.
О
пределе
частного
двух
функций
Предел
отношения
двух
функций
,
имеющих
предел
,
равен
отно
-
шению
пределов
этих
функций
:
0
0
0
lim ( )
( )
lim , 0.
( ) lim ( )
x x
x x
x x
f x
f x A
B
g x g x B
→
→
→
= = ≠
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- …
- следующая ›
- последняя »
