Сборник задач по высшей математике. Часть II. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одного вещественного аргумента. Гиль Л.Б - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

67
б) продифференцировать
обе части полученного
равенства, где
ln
y
−
сложная функция от
x
;
в) заменить
y
его выражением через
x
и определить
y
′
.
6. Производная
от функции, заданной параметрически:
(
)
(
)
,
= =
t
x
t
y
y
x
′
′
=
′
;
( )
x
t
xx
t
y
y
x
′
′
′′
=
′
;
( )
xx
t
t
y
y
x
′
′′
′′′
=
′
.
7. Производная от функции, заданной неявно:
(
)
; 0
F x y
=
,
где
(
)
y y x
=
:
x
x
y
F
y
F
′
′
= −
′
, (
x
F
′
,
y
F
′
− частные производные функции
(
)
;
F x y
).
2.2. Дифференциал функции
Из определений производной
0
lim
x
y
y
x
∆ →
∆
′
=
∆
и предела переменной
следует, что
y
y
x
ε
∆
′
= +
∆
или
y y x x
ε
′
∆ = ∆ + ∆
, где
0
ε
→
при
0
x
∆ →
.
Главная часть приращения функции, линейная относительно
приращения независимой переменной, называется дифференциалом
функции и обозначается
d
:
( )
dy f x x
′
= ∆
.
Дифференциал первого порядка
(
)
dy
функции равен произведению
её производной и дифференциала независимой переменной:
( )
dy y dx f x dx
′ ′
= =
⇒
.
dy
y
dx
′
=
Так как дифференциал функции отличается от её приращения на
бесконечно малую высшего порядка по сравнению с величиной
dx
, то
y dy
∆ =
, или
(
)
(
)
(
)
f x x f x f x dx
′
+ ∆ − ≈
, откуда:
(
)
(
)
(
)
f x x f x f x dx
′
+ ∆ ≈ +
.
Полученная формула часто применяется для приближенного
вычисления значения функции при малом приращении
x
∆
независимой
переменной
x
.
Дифференциалом n-го порядка функции
(
)
y f x
=
называется
дифференциал от дифференциала
(
)
1
n
−
-го порядка этой функции, т.е.
1
( ).
n n
d y d d y
−
=

Страницы