Сборник задач по высшей математике. Часть II. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одного вещественного аргумента. Гиль Л.Б - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

68
Если функция
(
)
y f x
=
, где х – независимая переменная, то
2 2 3 3 ( )
'' , ''' , ..., .
n n n
d y y dx d y y dx d y y dx
= = =
Если функция
(
)
y f u
=
, где
(
)
u x
ϕ
=
, то
2 2 2
= +
где
дифференцирование функции
y
выполняется по переменной u. (Это
имеет место и для дифференциалов более высоких порядков).
2.3. Теоремы о дифференцируемых функциях
Применение дифференциального исчисления в естествознании и
технике основывается на теоремах Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши и
Тейлора (таблица 2.3.1). В каждой из них утверждается существование
некоторого среднего значения аргумента
=
x c
(поэтому они
называются теоремами о среднем).
Таблица 2.3.1
Теорема (т) Содержание теоремы
Теорема
о связи
непрерывности и
дифференцируемости
Если функция дифференцируема в точке
0
x
, то она и непрерывна в этой точке
т.Ферма.
Если
(
)
y f x
=
1)
непрерывна на [a;b] ,
2)
в некоторой точке с∈[a;b] достигает
своего наибольшего или наименьшего
значения, дифференцируема в точке с,
то
( ) 0
f c
′
=
т. Ролля
Если
(
)
y f x
=
1)
непрерывна на [a;b],
2)
дифференцируема на (a;b),
3)
(
)
(
)
f a f b
=
,
то ∃ c ∈ (a;b):
( ) 0
f c
′
=
т. Лагранжа
Если
(
)
y f x
=
1)
непрерывна на [a;b],
2) дифференцируема на (a;b),
то ∃ c: с∈ (a;b):
( ) ( )
( )
f b f a
f c
b a
−
′
=
−
(
касательная в точке
c
параллельна хорде,
стягивающей концы дуги кривой)
а
с
b
a
c
b
x
y
(
)
f a
(
)
f b
a
b
c
f

Страницы