Физика. Часть 4. Основы квантовой механики. Гладышев И.В - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

17
что волновые функции
(
)
r
G
1
ψ
и
(
)
r
G
2
ψ
ортогональны, т.е.
()
(
)
0ψψ
*
=
∫
dVrr
nm
G
G
, при nm
≠
. (3)
Кроме того, из (1) следует, что:
()()
(
)
() ()
∫
−
=ΨΨ dVrredVtrtr
nm
tEE
nm
nm
i
G
G
GG
=
ψψ,,
**
. (4)
Поэтому, из условия ортогональности
(
)
r
G
1
ψ
и
()
r
G
2
ψ
с учетом
того, что
()
0≠
− tEE
nm
i
e
=
следует ортогональность
(
tr ,
1
)
G
Ψ и
()
tr,
2
G
Ψ .
С другой стороны, по условию задачи, функции
(
tr ,
1
)
G
Ψ и
(
tr,
2
)
G
Ψ - нормированы, т.е.
()
(
)
1,,
*
=ΨΨ
dVtrtr
nm
G
G
, при
nm
=
. (5)
Так как при
nm
EE
=
и
(
)
1=
− tEE
nm
i
e
=
, то из (4) следует, что усло-
вие (5) может быть выполнено только в случае, если и волновые
функции
()
r
G
1
ψ
и
()
r
G
2
ψ
нормированы.
Таким образом:
()()
⎩
⎨
⎧
≠
=
=ΨΨ
∫
nm
nm
dVtrtr
nm
,0
,1
,,
*
G
G
(6)
и
() ()
⎩
⎨
⎧
≠
=
=
∫
nm
nm
dVrr
nm
,0
,1
ψψ
*
G
G
. (7)
Проверим нормированность полной волновой функции
(
tr ,
)
G
Ψ . Из теории (например, [1] стр. 47) следует, что если вол-
новая функция представлена в виде разложения по другим функ-
циям, как в данной задаче, то:
()() ()()
{
}
∑∑
∫∫
ΨΨ=ΨΨ
mn
nmnm
dVtrtraadVtrtr ,,,,
***
G
G
G
G
, (8)
где a
m
и a
n
— соответствующие коэффициенты разложения. Или,
с учетом (6), 
                                                   17
                                            G              G
что волновые функции ψ 1 ( r ) и ψ 2 ( r ) ортогональны, т.е.
                              * G            G
                         ∫ mψ   ( r ) ψ  n ( r ) dV = 0 , при m ≠ n .                      (3)
Кроме того, из (1) следует, что:
                                                    i ( E − E )t
                 * G               G                                * G           G
               Ψ
              ∫ m ( r  , t ) Ψ n ( r , t ) dV   = e =    m   n
                                                                 ∫G m
                                                                  ψ   ( r ) ψ n ( r ) dV . (4)
                                                                                  G
Поэтому, из условия ортогональности ψ 1 ( r ) и ψ 2 ( r ) с учетом
                  i ( E − E )t
                                                                                        G
того, что e = m n ≠ 0 следует ортогональность Ψ1( r , t ) и
     G
Ψ2 ( r , t ) .
                                                                                         G
      С другой стороны, по условию задачи, функции Ψ1( r , t ) и
     G
Ψ2 ( r , t ) - нормированы, т.е.
                             * G               G
                       ∫ Ψm ( r , t ) Ψn ( r , t ) dV = 1 , при m = n .                    (5)
                                    i ( E − E )t
Так как при Em = En и e             = m      n
                                     = 1 , то из (4) следует, что усло-
вие (5) может быть выполнено только в случае, если и волновые
              G           G
функции ψ 1 ( r ) и ψ 2 ( r ) нормированы.
Таким образом:
                     * G             G            ⎧1,      m=n
                   Ψ
                  ∫ m ( r , t ) Ψn ( r , t ) dV = ⎨                                       (6)
                                                  ⎩0,      m≠n
и
                           * G           G        ⎧1,      m=n
                         ∫ m
                          ψ  ( r ) ψ n ( r ) dV = ⎨            .                          (7)
                                                  ⎩0,      m≠n
       Проверим нормированность полной волновой функции
    G
Ψ ( r , t ) . Из теории (например, [1] стр. 47) следует, что если вол-
новая функция представлена в виде разложения по другим функ-
циям, как в данной задаче, то:

     ∫ Ψ    * G
              ( r , t ) Ψ ( G
                            r , t ) dV = ∑∑{a *
                                                a Ψ
                                              m n∫ m
                                                    * G
                                                     ( r , t ) Ψn ( G
                                                                    r              }
                                                                      , t ) dV , (8)
                                     m n

где am и an — соответствующие коэффициенты разложения. Или,
с учетом (6),

Страницы