Физика. Часть 4. Основы квантовой механики. Гладышев И.В - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

19
21
3
2
3
1
EEE +=
. (11)
Для вычисления квантовой неопределенности энергии вос-
пользуемся формулой
2
2
EEE −=Δ
. (12)
Следуя общему правилу вычисления средних значений в кванто-
вой механике, запишем
∫∫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Ψ+Ψ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Ψ+Ψ=ΨΨ= VdHdVHE
21
2*
2
*
1
2*2
3
2
3
1
ˆ
3
2
3
1
ˆ
.
С учетом (2) можно записать
() ()
()
(
)
(
)
(
)(
rErHErEHrHHrH
G
)
G
G
GG
1
2
1111
1
11
2
ψψ
ˆ
ψ
ˆ
ψ
ˆˆ
ψ
ˆ
==== (13а)
и, соответственно,
(
)
(
)
rErH
G
G
2
2
22
2
ψψ
ˆ
= . (13б)
Используя последние соотношения, уравнения (1) и линейность
оператора
H
ˆ
, для среднего значения квадрата энергии получаем:
() () () ()
++=
∫∫
dVrrEdVrrEE
G
G
G
G
2
*
2
2
2
1
*
1
2
1
2
ψψ
3
2
ψψ
3
1
()
() ()
∫
−
+ dVrreE
tEE
i
G
G
=
1
*
2
2
1
ψψ
3
2
12
()
() ()
∫
−
+ dVrreE
tEE
i
G
G
=
2
*
1
2
2
ψψ
3
2
21
.
С учетом (5), находим, что
2
2
2
1
2
3
2
3
1
EEE +=
. (14)
Подставив (11) и (14) в (12), получаем 
                                              19

                                        1    2
                                     E = E1 + E2 .                               (11)
                                        3    3

     Для вычисления квантовой неопределенности энергии вос-
пользуемся формулой
                                                        2
                                 ΔE =       E2 − E            .                  (12)

Следуя общему правилу вычисления средних значений в кванто-
вой механике, запишем
                            ⎛ 1 *     2 *⎞ ˆ 2⎛ 1         2 ⎞
  E 2 = ∫ Ψ* Hˆ 2 Ψ dV = ∫ ⎜⎜    Ψ1 +   Ψ2 ⎟⎟ H ⎜⎜   Ψ1 +   Ψ2 ⎟⎟ d V .
                            ⎝  3      3     ⎠    ⎝ 3      3     ⎠
С учетом (2) можно записать
           G
                  (         G
                             ) (             G
                                                 )            G              G
 Hˆ 2 ψ1 ( r ) = Hˆ Hˆ ψ1 ( r ) = Hˆ E1 ψ1 ( r ) = E1 Hˆ ψ1 ( r ) = E12 ψ1 ( r ) (13а)
и, соответственно,
                                      G               G
                           Hˆ 2 ψ 2 ( r ) = E22 ψ 2 ( r ) .                    (13б)
Используя последние соотношения, уравнения (1) и линейность
оператора Ĥ , для среднего значения квадрата энергии получаем:
         1           G        G       2            G         G
   E 2 = E12 ∫ ψ1* ( r ) ψ1 ( r ) dV + E22 ∫ ψ*2 ( r ) ψ 2 ( r ) dV +
         3                            3
             2 2 =i ( E2 − E1 ) t         G        G
          +   E1 e                ∫ ψ*2 ( r ) ψ1 ( r ) dV
            3
             2 2 =i ( E1 − E2 )t * G            G
          +   E2 e              ∫ 1
                                 ψ  ( r ) ψ 2 ( r ) dV .
            3
С учетом (5), находим, что
                                     1     2
                                E 2 = E12 + E22 .                                (14)
                                     3     3
Подставив (11) и (14) в (12), получаем

Страницы