Физика. Часть 4. Основы квантовой механики. Гладышев И.В - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

18
(
)
(
)
∑
∫
=ΨΨ
n
n
adVtrtr
2
*
,,
G
G
. (9)
Так как
1
3
2
3
1
2
2
2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∑
n
n
a
, то значит, общая волновая
функция
(
tr,
)
G
Ψ нормирована на единицу. Поэтому мы можем
использовать общее правило для вычисления средних значений.
Вычислим среднее значение энергии
E :
∫∫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Ψ+Ψ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Ψ+Ψ=ΨΨ= VdHdVHE
21
*
2
*
1
*
3
2
3
1
ˆ
3
2
3
1
ˆ
,
где
H
ˆ
- оператор энергии (гамильтониан).
Так как оператор
H
ˆ
- линейный, то, с учетом уравнений (1) и (2):
() ()
×
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
∫
tEtE
ii
ererE
21
*
2
*
1
ψ
3
2
ψ
3
1
==
G
G
() ()
Vderer
tEtE
ii
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+×
−−
21
2
2
1
1
ψE
3
2
ψE
3
1
==
G
G
.
Раскрывая скобки получаем:
() () () ()
++=
∫∫
dVrrEdVrrEE
G
G
G
G
2
*
22
1
*
11
ψψ
3
2
ψψ
3
1
()
() ()
∫
−
+ dVrreE
tEE
i
G
G
=
1
*
21
ψψ
3
2
12
(10)
()
() ()
∫
−
+ dVrreE
tEE
i
G
G
=
2
*
12
ψψ
3
2
21
.
Далее, подставляя (7) в (10), для среднего значения энергии
E
получаем:
                                            18

                               * G            G
                           ∫ Ψ  ( r , t ) Ψ ( r , t ) dV = ∑ a
                                                               2
                                                              n .               (9)
                                                        n

                           2            2
                  2 ⎛ 1 ⎞ ⎛⎜ 2 ⎞⎟
Так как ∑ an = ⎜ ⎟ + ⎜           ⎟ = 1, то значит, общая волновая
         n          ⎝  3 ⎠   ⎝ 3 ⎠
            G
функция Ψ ( r , t ) нормирована на единицу. Поэтому мы можем
использовать общее правило для вычисления средних значений.
    Вычислим среднее значение энергии E :
                          ⎛ 1 *     2 *⎞ ˆ ⎛ 1          2 ⎞
    E = ∫ Ψ* Hˆ Ψ dV = ∫ ⎜⎜    Ψ1 +   Ψ2 ⎟⎟ H ⎜⎜   Ψ1 +   Ψ2 ⎟⎟ d V ,
                          ⎝  3      3     ⎠ ⎝    3      3     ⎠
где Ĥ - оператор энергии (гамильтониан).
Так как оператор Ĥ - линейный, то, с учетом уравнений (1) и (2):
        ⎛ 1 * G =i E1t   2 * G =i E2t ⎞
        ⎜
    E =∫⎜   ψ1 ( r ) e + ψ2 ( r ) e   ⎟⎟ ×
        ⎝ 3              3             ⎠

                ⎛ 1          G − =i E1t   2          G − =i E2t     ⎞
             × ⎜⎜    E1 ψ1 ( r ) e      +   E 2 ψ2 ( r ) e          ⎟⎟ d V .
                ⎝  3                      3                          ⎠
Раскрывая скобки получаем:
       1          G        G       2           G         G
   E = E1 ∫ ψ1* ( r ) ψ1 ( r ) dV + E2 ∫ ψ*2 ( r ) ψ 2 ( r ) dV +
       3                           3
                      i (E − E ) t
               2                    G        G
         +       E1 e = 2 1 ∫ ψ*2 ( r ) ψ1 ( r ) dV                            (10)
              3
                  i ( E − E )t
            2                  G         G
         +    E2 e 1 2 ∫ ψ1* ( r ) ψ 2 ( r ) dV .
                  =
           3

Далее, подставляя (7) в (10), для среднего значения энергии E
получаем:

Страницы