Физика. Часть 4. Основы квантовой механики. Гладышев И.В - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

21
∫
∞
∞
−
ΨΨ= xpp
xx
d
ˆ
*
, (1)
где — оператор проекции импульса.
x
p
ˆ
Покажем, что этот оператор можно записать в виде
[
]
xH
mi
p
x
ˆ
,
ˆ
ˆ
=
=
, (2)
где m – масса частицы,
H
ˆ
– гамильтониан.
Так как по условию задачи движение одномерное, то
)(
2
ˆ
ˆ
2
xU
m
p
H
x
+=
,
где U(x) – потенциальная энергия частицы. Рассмотрим дейст-
вие коммутатора на некоторую “пробную’’ функцию
ϕ
(x).
В координатном представлении действие оператора координаты
[
xH
ˆ
,
ˆ
]
x
ˆ
сводится к умножению на x, поэтому
[]
ϕϕϕϕϕ
xU
m
p
xxUx
m
p
xH
xx
−−+=
2
ˆ
2
ˆ
,
ˆ
22
=
()
ϕϕ
m
p
xxp
m
p
x
x
x
2
ˆ
ˆ
2
ˆ
2
−=
=
()
ϕϕϕ
m
p
xpxxp
m
p
x
xx
x
2
ˆ
ˆˆ
2
ˆ
2
−+=
.
Учитывая теперь, что
== i
x
x
ixp
x
−=
∂
∂
−=
ˆ
, запишем
[]
()
ϕϕϕϕ
m
p
xpxi
m
p
xH
x
x
x
2
ˆ
ˆ
2
ˆ
,
ˆ
2
−+−= =
=
()()
()
ϕϕϕϕ
m
p
xpxpxppi
m
x
xxxx
2
ˆ
ˆˆˆˆ
2
1
2
2
−++−= =
= 
                                           21

                                       ∞
                            p x = ∫ Ψ * pˆ x Ψ dx ,                               (1)
                                   −∞

где p̂x — оператор проекции импульса.
Покажем, что этот оператор можно записать в виде

                              pˆ x =
                                       im ˆ
                                        =
                                           [ ]
                                          H , xˆ ,                                (2)

где m – масса частицы, Ĥ – гамильтониан.
    Так как по условию задачи движение одномерное, то
                                    2
                                  ˆ
                                  p
                             Hˆ =   x + U ( x) ,
                                  2m
где U(x) – потенциальная энергия частицы. Рассмотрим дейст-
                  [ ]
вие коммутатора Hˆ , xˆ на некоторую “пробную’’ функцию ϕ(x).
В координатном представлении действие оператора координаты
x̂ сводится к умножению на x, поэтому
                   pˆ x2               pˆ x2
           [ ]
           ˆ
           H,x ϕ =
                   2m
                         xϕ + U xϕ − x
                                       2m
                                             ϕ − xUϕ =

                       pˆ x                 pˆ x2
                     =      ( pˆ x x ϕ ) − x ϕ           =
                       2m                   2m

                       pˆ x                           pˆ x2
                     =      (ϕ pˆ x x + x pˆ x ϕ ) − x ϕ .
                       2m                             2m
                                                ∂x
    Учитывая теперь, что pˆ x x = − i =            = − i = , запишем
                                                ∂x
                                           pˆ x2
     [ ]
     ˆ
     H,x ϕ =
             pˆ x
             2m
                  (− i = ϕ + x pˆ x ϕ ) − x ϕ =
                                           2m

              =
                 1
                2m
                      (
                   − i = pˆ x ϕ + ( pˆ x x )( pˆ x ϕ ) + x pˆ x2 ϕ   )   −x
                                                                            pˆ x2
                                                                            2m
                                                                                  ϕ =

Страницы