Физика. Часть 4. Основы квантовой механики. Гладышев И.В - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

23
{
}
=ΨΨ−ΨΨ=
∫
∞
∞−
xHxHx
mi
p
x
d
ˆˆ
***
=
()
{
}
∫
∞
∞
−
ΨΨ−ΨΨ= xHxHx
mi
d
ˆˆ
*
*
=
. (3)
По условию задачи волновая функция Ψ описывает ста-
ционарное квантовое состояние, поэтому она удовлетворяет ста-
ционарному уравнению Шредингера
Ψ=Ψ EH
ˆ
, (4)
где E — энергия частицы.
Так как
H
ˆ
— эрмитовый оператор, то его собственные значе-
ния (уровни энергии) – действительные числа, т.е. E*=E. Учи-
тывая уравнение (4) и действительность E, из (3) получаем
{
}
∫
∞
∞
−
ΨΨ−ΨΨ= xExEx
mi
p
x
d
**
=
.
Или, что то же самое,
(
)
(
)
{
}
∫
∞
∞−
ΨΨ−ΨΨ= xExEx
mi
p
x
d
**
=
. (5)
Видно, что подынтегральное выражение тождественно рав-
но нулю. Отсюда следует, что среднее значение
x
p равно нулю.
Замечание: Приведенное доказательство практически до-
словно переносится на трехмерное движение, так как оператор-
ное равенство (2), на котором оно основано, справедливо и в этом
случае. Более того, для трехмерного движения точно таким же
образом можно доказать, что в любом стационарном состоянии
дискретного спектра равны нулю и средние значения проекций
импульса на оси y и z. Иначе говоря, результат задачи можно
сформулировать в виде утверждения:
в любом стационарном со-
стоянии дискретного спектра среднее значение импульса частицы
равно нулю.
                                   23


               px =
                    im ∞
                        ∫
                     = −∞
                          {                         }
                          x ΨHˆ * Ψ * − x Ψ *Hˆ Ψ dx =


                   =
                     im ∞
                         ∫
                      = −∞
                           {   (   *
                                        )
                           x Ψ Hˆ Ψ − x Ψ *Hˆ Ψ dx .     }   (3)

     По условию задачи волновая функция Ψ описывает ста-
ционарное квантовое состояние, поэтому она удовлетворяет ста-
ционарному уравнению Шредингера
                           Ĥ Ψ = E Ψ ,                   (4)
где E — энергия частицы.
Так как Ĥ — эрмитовый оператор, то его собственные значе-
ния (уровни энергии) – действительные числа, т.е. E*=E. Учи-
тывая уравнение (4) и действительность E, из (3) получаем

               px =
                    im ∞
                        ∫
                     = −∞
                          {                     }
                          x Ψ E Ψ * − x Ψ * E Ψ dx .

Или, что то же самое,

               px =
                    im ∞
                        ∫
                     = −∞
                         { (        )       (
                          x E Ψ Ψ * − x E Ψ * Ψ dx .)}        (5)

     Видно, что подынтегральное выражение тождественно рав-
но нулю. Отсюда следует, что среднее значение px равно нулю.

     Замечание: Приведенное доказательство практически до-
словно переносится на трехмерное движение, так как оператор-
ное равенство (2), на котором оно основано, справедливо и в этом
случае. Более того, для трехмерного движения точно таким же
образом можно доказать, что в любом стационарном состоянии
дискретного спектра равны нулю и средние значения проекций
импульса на оси y и z. Иначе говоря, результат задачи можно
сформулировать в виде утверждения: в любом стационарном со-
стоянии дискретного спектра среднее значение импульса частицы
равно нулю.

Страницы