Физика. Часть 4. Основы квантовой механики. Гладышев И.В - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

22
()
ϕϕϕϕ
m
p
x
m
p
xi
m
p
m
p
i
xxxx
2
ˆ
2
ˆ
2
ˆ
2
ˆ
22
−+−+−= ==
=
ϕ
m
p
i
x
ˆ
=−=
.
Поскольку функция
ϕ
(x) произвольна, результат приведенных
выше преобразований можно записать в виде операторного ра-
венства
[]
m
p
ixH
x
ˆ
ˆ
,
ˆ
=−=
,
откуда сразу следует соотношение (2).
Вернемся к формуле (1) и заменим в ней оператор проекции
импульса выражением (2). Тогда
[]
()
=Ψ−Ψ=ΨΨ=
∫∫
∞
∞
−
∞
∞
−
xHxxH
mi
xxH
mi
p
x
d
ˆ
ˆˆ
ˆ
d
ˆ
,
ˆ
**
==
{}
=ΨΨ−ΨΨ=
∫
∞
∞−
xHxxH
mi
d
ˆ
ˆˆ
ˆ
**
=
{}
∫
∞
∞−
ΨΨ−ΨΨ= xHxxH
mi
d
ˆˆ
**
=
.
Используя понятие транспонированного оператора, полу-
ченное выражение можно записать в виде
{
}
∫
∞
∞−
ΨΨ−ΨΨ= xHxHx
mi
p
x
d
ˆ
~
ˆ
**
=
.
Так как оператор
H
ˆ
эрмитов, т.е. HH
ˆˆ
=
+
, то
*
ˆ
~
ˆ
HH =
(транспо-
нированный оператор равен комплексно сопряженному). Таким
образом, 
                                            22

                      pˆ x    pˆ x                pˆ x2      pˆ x2
               = −i =      ϕ+      ϕ (− i = ) + x       ϕ −x       ϕ =
                      2m      2m                  2m         2m
                         pˆ x
               = −i =         ϕ .
                          m
Поскольку функция ϕ(x) произвольна, результат приведенных
выше преобразований можно записать в виде операторного ра-
венства

                            [Hˆ , xˆ ]   = −i =
                                                  pˆ x
                                                   m
                                                       ,

откуда сразу следует соотношение (2).
     Вернемся к формуле (1) и заменим в ней оператор проекции
импульса выражением (2). Тогда
             im ∞ * ˆ              im ∞ * ˆ
      px   =     ∫
              = −∞
                         [ ]
                   Ψ H , xˆ Ψ dx =     ∫
                                    = −∞
                                                           (
                                         Ψ H xˆ − xˆ Hˆ Ψ dx =     )

             =     ∫
                = −∞
                     {
               im ∞ * ˆ
                     Ψ H xˆ Ψ − Ψ * xˆ Hˆ Ψ dx =         }
             =     ∫
                = −∞
                     {
               im ∞ * ˆ
                     Ψ H x Ψ − x Ψ*Hˆ Ψ dx .         }
    Используя понятие транспонированного оператора, полу-
ченное выражение можно записать в виде

                px   =
                       im ∞
                           ∫
                        = −∞
                             x {
                               Ψ
                                 ~ *
                                 ˆ Ψ − x Ψ* Hˆ Ψ dx .
                                 H                             }
                                    +
                                             ~
Так как оператор Ĥ эрмитов, т.е. H = H , то ˆ = Hˆ * (транспо-
                                  ˆ   ˆ      H
нированный оператор равен комплексно сопряженному). Таким
образом,

Страницы