Физика. Часть 4. Основы квантовой механики. Гладышев И.В - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

24
Задача 99.в.
Показать, что для любого оператора
σ
ˆ
, квадрат кото-
рого равен единице (
2
ˆ
σ
=1), справедливо соотношение
Θ+Θ=
Θ
sin
ˆ
cos
ˆ
σ
σ
ie
i
,
где
Θ
- некоторое вещественное число.
Решение:
Разложим экспоненту в ряд Маклорена:
"+
Θ
+
Θ
+
Θ
+
Θ
+=
Θ
!4
ˆ
!3
ˆ
!2
ˆ
!1
ˆ
1
444333222
ˆ
σσσσ
σ
iiii
e
i
Учитывая, что i
2
= -1, получаем:
"+
Θ
+
Θ
−
Θ
−Θ+=
Θ
!4
ˆ
!3
ˆ
!2
ˆ
ˆ
1
443322
ˆ
σσσ
σ
σ
i
ie
i
=
=
"+
Θ
+
Θ
−
Θ
−Θ+
!4
ˆˆ
!3
ˆˆ
!2
ˆ
ˆ
1
4223222
σσσσσ
σ
i
i
Согласно условию задачи
2
ˆ
σ
=1, поэтому
"+
Θ
−
Θ
−
Θ
+
Θ
+
Θ
−
Θ
−Θ+=
Θ
!7
ˆ
!6!5
ˆ
!4!3
ˆ
!2
ˆ
1
765432
ˆ
σσσ
σ
σ
iii
ie
i
Учитывая, что по условию Θ вещественно, сгруппируем
действительные и мнимые члены ряда:
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
Θ
+
Θ
−Θ+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
Θ
−
Θ
+
Θ
−=
Θ
""
!5
ˆ
!3
ˆ
ˆ
!6!4!2
1
53642
ˆ
σσ
σ
σ
ie
i
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
Θ
+
Θ
−Θ+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
Θ
−
Θ
+
Θ
−= ""
!5!3
ˆ
!6!4!2
1
53642
σ
i
. (1) 
                                                        24


     Задача 99.в.
     Показать, что для любого оператора σˆ , квадрат кото-
                      2
рого равен единице (σˆ =1), справедливо соотношение
                                         eiΘ σˆ = cos Θ + iσˆ sin Θ ,

где Θ - некоторое вещественное число.


       Решение:
       Разложим экспоненту в ряд Маклорена:
                           iΘσˆ       i Θσˆ i 2Θ 2σˆ 2 i 3 Θ3σˆ 3 i 4 Θ4σˆ 4
                       e          =1+      +          +          +           +"
                                        1!      2!          3!         4!
Учитывая, что i2 = -1, получаем:
                      iΘσˆ                 Θ2σˆ 2 i Θ3σˆ 3 Θ 4σˆ 4
                  e          = 1 + i Θσˆ −       −        +        +" =
                                            2!       3!      4!
                                             σˆ 2Θ2     iσˆσˆ 2 Θ3 σˆ 2σˆ 2Θ4
                             =1 + i σˆ Θ −            −           +           +"
                                               2!            3!         4!
Согласно условию задачи σˆ 2 =1, поэтому
       iΘσˆ                  Θ2 iσˆ Θ3 Θ4 iσˆ Θ5 Θ6 iσˆ Θ7
   e          = 1 + i σˆ Θ −    −     +    +    −    −     +"
                             2!    3!   4!   5!   6!   7!
     Учитывая, что по условию Θ вещественно, сгруппируем
действительные и мнимые члены ряда:

           iΘσˆ      ⎛ Θ 2 Θ 4 Θ6          ⎞ ⎛             σˆ Θ  3
                                                                     σˆ Θ  5     ⎞
       e          = ⎜⎜1 −    +    −    + "⎟⎟ + i ⎜⎜ σˆ Θ −         +         − "⎟⎟ =
                     ⎝    2!   4!   6!     ⎠ ⎝                3!        5!       ⎠
                        ⎛ Θ 2 Θ 4 Θ6          ⎞       ⎛    Θ 3
                                                                 Θ 5     ⎞
                        ⎜
                      = ⎜1 −    +    −        ⎟     ˆ ⎜
                                          + " ⎟ + iσ ⎜ Θ −     +     − "⎟⎟ . (1)
                        ⎝    2!   4!   6!     ⎠       ⎝    3!    5!      ⎠

Страницы