Решение задач по аналитической геометрии. Линии второго порядка. Глушакова Т.Н - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Найдем вершину параболы в исходной системе координат:
x
′′
= 0
y
′′
= 0
, откуда
x
′
= −
1
√
2
y
′
= 0
, поэтому
x = −
1
√
2
·
1
√
2
y = −
1
√
2
· (−
1
√
2
)
,
то есть
x = −
1
2
y =
1
2
.
Таким образом,
−
1
2
,
1
2
!
— вершина параболы.
Найдем уравнение оси параболы (это ось (OY
′′
)). Очевидно, что в
системе координат X
′′
O
′
Y
′′
ее уравнение имеет вид x
′′
= 0, откуда
x
′
= −
1
√
2
, поэтому x ·
1
√
2
− y ·
1
√
2
+
1
√
2
= 0. Таким образом,
x − y + 1 = 0 — уравнение оси параболы в исходной системе координат.
Задачи для самоподготовки
Задача 1.
Привести к каноническому виду следующие общие уравне-
ния кривых 2-го порядка и нарисовать получившиеся фигуры:
1) 3x
2
− 2xy + 3y
2
+ 4x + 4y − 4 = 0;
2) x
2
− 2xy + y
2
− 4x − 6y + 3 = 0;
3) x
2
+ 2xy + y
2
+ 2x + 2y − 4 = 0;
4) 7xy − 3 = 0;
5) x
2
+ 6xy + y
2
+ 6x + 2y − 1 = 0;
6) y
2
+ 5xy − 14x
2
= 0;
7) x
2
+ y
2
− 4x − 6y = 0;
8) 2y
2
+ 8x + 12y − 3 = 0;
9) 5x
2
+ 3y
2
+ x − 2 = 0;
10) x
2
+ 3y
2
+ 4x − 5y = 0;
11) x
2
− 2y
2
+ 3 = 0;
12) 3x
2
− 4y
2
+ 2y + 5 = 0;
45
    Найдем вершину параболы в исходной системе координат:
                                                            
                                                            
                                                                     1   1
                              
                                           1
                                                            
                                                            
                                                            
                                                            
                                                                x = −√ · √

   x′′ = 0
                               
                               
                                  x′ = − √
                                                            
                                                            
                                                                      2   2

             ,   откуда        
                                            2 ,   поэтому   
                                                                                   ,
   y ′′ = 0                   
                                   ′
                                   y =0
                                                            
                                                            
                                                            
                                                                      1      1
                                                            
                                                            
                                                            
                                                               y = − √ · (− √ )
                                                                       2      2
            
            
            
                       1
            
            
            
                 x=−
            
                      2
то есть     
                           .
            
            
            
            
              1
            
                y=
               2                     !
                      1 1
    Таким образом,  − ,       — вершина параболы.
                      2 2
   Найдем уравнение оси параболы (это ось (OY ′′ )). Очевидно, что в
системе координат X ′′ O′ Y ′′ ее уравнение имеет вид x′′ = 0, откуда
        1                     1       1     1
x′ = − √ , поэтому x · √ − y · √ + √ = 0. Таким образом,
         2                     2       2     2
x − y + 1 = 0 — уравнение оси параболы в исходной системе координат.




                           Задачи для самоподготовки

   Задача 1. Привести к каноническому виду следующие общие уравне-
ния кривых 2-го порядка и нарисовать получившиеся фигуры:
1) 3x2 − 2xy + 3y 2 + 4x + 4y − 4 = 0;
2) x2 − 2xy + y 2 − 4x − 6y + 3 = 0;
3) x2 + 2xy + y 2 + 2x + 2y − 4 = 0;
4) 7xy − 3 = 0;
5) x2 + 6xy + y 2 + 6x + 2y − 1 = 0;
6) y 2 + 5xy − 14x2 = 0;
7) x2 + y 2 − 4x − 6y = 0;
8) 2y 2 + 8x + 12y − 3 = 0;
9) 5x2 + 3y 2 + x − 2 = 0;
10) x2 + 3y 2 + 4x − 5y = 0;
11) x2 − 2y 2 + 3 = 0;
12) 3x2 − 4y 2 + 2y + 5 = 0;

                                             45

Страницы