Решение задач по аналитической геометрии. Линии второго порядка. Глушакова Т.Н - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Найдем центр гиперболы в исходной системе координат:
x
′′
= 0
y
′′
= 0
, откуда
x
′
= 0
y
′
=
25
28
, поэтому
x = −
25
28
·
3
5
y =
25
28
·
4
5
,
то есть
x = −
15
28
y =
5
7
.
Таким образом, точка
−
15
28
,
5
7
!
— центр гиперболы.
Найдем уравнение действительной оси. В системе координат X
′′
O
′
Y
′′
y
′′
= 0, откуда y
′
−
25
28
= 0 и, следовательно, −x ·
3
5
+ y ·
4
5
−
25
28
= 0,
то есть 84x − 112y + 125 = 0 — уравнение действительной оси в
исходной системе координат.
№ 506. Определить координаты вершины параболы, величину пара-
метра и направление оси, если парабола дана одним из следующих урав-
нений:
1) y
2
− 10x − 2y − 19 = 0;
2) y
2
− 6x + 14y + 49 = 0;
3) y
2
+ 8x − 16 = 0;
4) x
2
− 6x − 4y + 29 = 0;
5) y = Ax
2
+ Bx + C;
6) y = x
2
− 8x + 15;
7) y = x
2
+ 6x.
Р е ш е н и е
Рассмотрим случай 4).
Выделим в уравнении x
2
− 6x − 4y + 29 = 0 полный квадрат при
неизвестной x. Получим (x−3)
2
−9 = 4y−29, откуда (x−3)
2
= 4y−20,
то есть (x − 3)
2
= 4(y − 5). Из этого уравнения следует, что (3; 5) —
вершина параболы, p = 2, ось параболы параллельна оси (OY ).
43
    Найдем центр гиперболы в исходной системе координат:
                                                              
                                    
                                                              
                                                              
                                                              
                                                                        25 3
                                                             
                                                                 x=−     ·

   x′′ = 0
                                    
                                    
                                       x′ = 0                
                                                              
                                                                       28 5

             ,       откуда                 25 ,   поэтому   
                                                                               ,
   y ′′ = 0                        
                                       y′ =                  
                                                              
                                                              
                                                                      25 4
                                             28               
                                                              
                                                                 y=     ·
                                                                      28 5
                 
                 
                 
                           15
                 
                 
                 
                     x=−
                 
                          28
то есть          
                                .
                 
                 
                 5
                 
                 
                 
                 
                    y=
                 7                            !
                              15 5
    Таким образом, точка     − ,     — центр гиперболы.
                              28 7
     Найдем уравнение действительной оси. В системе координат X ′′ O′ Y ′′
                       25                            3     4 25
y ′′ = 0, откуда y ′ −    = 0 и, следовательно, −x · + y · −       = 0,
                       28                            5     5 28
то есть 84x − 112y + 125 = 0 — уравнение действительной оси в
исходной системе координат.

   № 506. Определить координаты вершины параболы, величину пара-
метра и направление оси, если парабола дана одним из следующих урав-
нений:
1) y 2 − 10x − 2y − 19 = 0;
2) y 2 − 6x + 14y + 49 = 0;
3) y 2 + 8x − 16 = 0;
4) x2 − 6x − 4y + 29 = 0;
5) y = Ax2 + Bx + C;
6) y = x2 − 8x + 15;
7) y = x2 + 6x.
                               Решение
   Рассмотрим случай 4).
   Выделим в уравнении x2 − 6x − 4y + 29 = 0 полный квадрат при
неизвестной x. Получим (x−3)2 −9 = 4y−29, откуда (x−3)2 = 4y−20,
то есть (x − 3)2 = 4(y − 5). Из этого уравнения следует, что (3; 5) —
вершина параболы, p = 2, ось параболы параллельна оси (OY ).

                                               43

Страницы