Решение задач по аналитической геометрии. Линии второго порядка. Глушакова Т.Н - 42 стр.

координат.

  3) Так как 2x2 + 24xy − 5y 2 − 15x + 20y − 12 = 0, то A = 2, B = 12,
C = −5,     AC −B 2 = −10−122 < 0 — это      гипербола.       Найдем
         24    24               4        3
tg 2α =      = , откуда cos α = , sin α = , тогда для поворота осей
        2+5     7               5        5
                                   
                                   
                                        1
                                   
                                   
                                   
                                   
                                      x = (4x′ − 3y ′ )
                                   
                                        5
координат воспользуемся формулами                      . Подставим
                                   
                                   
                                   
                                   
                                        1    ′    ′
                                    y = (3x + 4y )
                                   
                                         5
выражения для координат x, y в исходное уравнение, получим
       2                 24                            5
         (4x′ − 3y ′ )2 + (4x′ − 3y ′ )(3x′ + 4y ′ ) − (3x′ + 4y ′ )2 −
      25                 25                           25
               15                20
                 −(4x′ − 3y ′ ) + (3x′ + 4y ′ ) − 12 = 0.
                5                 5
  Приведем подобные слагаемые, получим

                     275x′2 − 350y ′2 + 625y ′ − 300 = 0.

  Разделим уравнение на 25, получим

                           11x′2 − 14y ′2 + 25y ′ − 12 = 0.

  Выделим полный квадрат при y, получим
                                                     !2
                      ′2       25       ′                      47
                  11x − 14 y −                             =      ,       откуда
                               28                              56
                       47                                25
          11x′′2 − 14y ′′2 =
                          ,   где x′′ = x′ , y ′′ = y ′ − .
                       56                                28
  Таким образом, каноническое уравнение гиперболы имеет вид
                            x′′2            y ′′2
                             47     −       47      = 1,         откуда
                            11·56           282
                               √                                      √
                                 47                                    47
                            a= √    ,                          b=         .
                              2 154                                   28



                                                     42