Решение задач по аналитической геометрии. Линии второго порядка. Глушакова Т.Н - 41 стр.

                  1                        1
            3·       (4x′ − 3y ′ )2 + 24 · (4x′ − 3y ′ )(3x′ + 4y ′ )−
                 25                       25
                         1                     1
                  −4 · (3x′ + 4y ′ )2 + 10 · (4x′ − 3y ′ ) = 0
                        25                     5
          или       300x − 325y + 200x − 150y ′ = 0,
                         ′2          ′2      ′
                                                                 откуда
                          12x′2 − 13y ′2 + 8x′ − 6y ′ = 0.
  Выделим полные квадраты при x′ , y ′ , получим
                                       !               !
                             2               6
                       12 x + x′ − 13 y ′2 + y ′ = 0,
                           ′2
                             3              13
                          !                            !
                   1 2
                   ′          1           ′  3 2         9
  откуда 12 · x +      − 12 · − 13 · y +         + 13 · 2 = 0 или
                   3          9             13          13
                                                        !
     ′′2    ′′2 25             ′′  ′    1    ′′   ′   3
  12x − 13y −       =0       x =x + , y =y +               , то есть
                39                      3            13
                          x′′2    y ′′2
                           25 − 25 = 1.
                                    39·12   39·13
                                v
                                u   √         v
                                              u              √
                          25    u
                                t  5 13       u 25         5   3
  Таким образом, a =             =      , b=t            =       .
                        39 · 12     78          39 · 13      39
  Найдем центр гиперболы в исходной системе координат. Так как
                                         
                   
                     ′  1                
                                                   1
                  
                   
                   
                   
                     x + =0               
                                          
                                          
                                          
                                            x′ = −
  
   x′′ = 0        
                        3                
                                                   3
  
             , то                  или                , откуда
   y ′′ = 0       
                                         
                                          
                   
                   
                     ′   3               
                                          
                                            ′       3
                    y +
                            =0            y =−
                                          
                         13                         13
                                            
              
              
              
                     1 4     3 3             
                                             
                                             
                                                        5
              
              
              
                x=− · +         ·            
                                             
                                             
                                               x=−
              
                    3 5 13 5                
                                                      39
              
                                      или    
                                                           .
              
                                            
                                             
              
              
                    1 3     3 4             
                                             
                                                       5
               y =− ·
                        −      ·             y =−
                                             
                     3 5 13 5                          13
                                       !
                          5    5
     Таким образом, − , −           — центр гиперболы.
                         39 13
     Найдем уравнение действительной оси. В системе координат X ′′ O′ Y ′′
                         3
y ′′ = 0, поэтому y ′ +     = 0, и, подставляя выражение y ′ через x и y,
                        13
             3      4   3
получим    −x ·+y· +       = 0, откуда −39x + 52y + 15 = 0 или
             5      5 13
39x−52y−15 = 0. Это уравнение действительной оси в исходной системе

                                            41