Решение задач по аналитической геометрии. Линии второго порядка. Глушакова Т.Н - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

№ 422
∗
. Исследовать кривую, предварительно повернув оси координат
так, чтобы преобразованное уравнение не содержало члена с произведе-
нием координат: x
2
+ xy + y
2
− 4, 5 = 0.
Р е ш е н и е
Исследуем тип кривой. Так как AC − B
2
= 1 · 1 −
1
2
!
2
=
3
4
, то
это эллипс. Найдем угол поворота α. Так как tg 2α =
1
0
= +∞, то
2α =
π
2
и α =
π
4
.
Сделаем замену переменных:
x = x
′
1
√
2
− y
′
1
√
2
y = x
′
1
√
2
+ y
′
1
√
2
, откуда
x =
1
√
2
(x
′
− y
′
)
y =
1
√
2
(x
′
+ y
′
)
.
Подставим выражение координат x, y в исходное уравнение кривой,
получим
1
2
(x
′
− y
′
)
2
+
1
2
(x
′
− y
′
)(x
′
+ y
′
) +
1
2
(x
′
+ y
′
)
2
− 4, 5 = 0 или
x
′2
+ y
′2
− 2x
′
y
′
+ x
′2
− y
′2
+ x
′2
+ y
′2
+ 2x
′
y
′
− 9 = 0, откуда
3x
′2
+ y
′2
− 9 = 0 или
x
′2
3
+
y
′2
9
= 1.
Таким образом, мы получили эллипс с центром в точке (0, 0) (так
как был только поворот, а параллельного переноса не было), b =
√
3,
a = 3. Поскольку большая (фокальная) ось расположена по оси (OY
′
),
а малая — по оси (OX
′
), то уравнение фокальной оси x
′
= 0 или,
переходя к старым координатам, x
1
√
2
+ y
1
√
2
= 0, то есть x+y = 0.
№ 472. Привести к простейшему виду уравнения гипербол:
1) 9x
2
− 25y
2
− 18x − 100y − 316 = 0;
2) 5x
2
− 6y
2
+ 10x − 12y − 31 = 0;
3) x
2
− 4y
2
+ 6x + 5 = 0;
4) 3x
2
− y
2
+ 12x − 4y − 4 = 0;
39
   № 422∗ . Исследовать кривую, предварительно повернув оси координат
так, чтобы преобразованное уравнение не содержало члена с произведе-
нием координат: x2 + xy + y 2 − 4, 5 = 0.
                               Решение                     !
                                             2          1 2 3
   Исследуем тип кривой. Так как AC − B = 1 · 1 −            = , то
                                                        2      4
                                                         1
это эллипс. Найдем угол поворота α. Так как tg 2α = = +∞, то
      π           π                                      0
2α =      и α= .
      2           4
   Сделаем замену переменных:
                                                       
         
                  ′√1          ′√1                     
                                                                1
         
         
         
         
             x=x           −y                           
                                                        
                                                        
                                                        
                                                            x = √ (x′ − y ′ )
         
         
                     2           2                     
                                                        
                                                                 2
         
                                      ,   откуда        
                                                                                .
         
                                                       
                                                        
         
               1       1                      1        
                                                        
        y = x′ √ + y ′ √
         
         
         
                                         y = √ (x′ + y ′ )
                                                        
                                                        
                                                        
                                                        
                 2       2                      2
  Подставим выражение координат x, y в исходное уравнение кривой,
получим
       1 ′            1                        1
         (x − y ′ )2 + (x′ − y ′ )(x′ + y ′ ) + (x′ + y ′ )2 − 4, 5 = 0         или
       2              2                        2
      x′2 + y ′2 − 2x′ y ′ + x′2 − y ′2 + x′2 + y ′2 + 2x′ y ′ − 9 = 0,    откуда
                      ′2    ′2           x′2 y ′2
              3x + y − 9 = 0      или       +     = 1.
                                          3    9
   Таким образом, мы получили эллипс с центром в точке (0, 0) (так
                                                               √
как был только поворот, а параллельного переноса не было), b = 3,
a = 3. Поскольку большая (фокальная) ось расположена по оси (OY ′ ),
а малая — по оси (OX ′ ), то уравнение фокальной оси x′ = 0 или,
                                   1     1
переходя к старым координатам, x √ + y √ = 0, то есть x+y = 0.
                                    2     2

     № 472. Привести к простейшему виду уравнения гипербол:
1)   9x2 − 25y 2 − 18x − 100y − 316 = 0;
2)   5x2 − 6y 2 + 10x − 12y − 31 = 0;
3)   x2 − 4y 2 + 6x + 5 = 0;
4)   3x2 − y 2 + 12x − 4y − 4 = 0;


                                            39

Страницы