Решение задач по аналитической геометрии. Линии второго порядка. Глушакова Т.Н - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Разделим обе части уравнения на 9, получим
x
′′2
+
y
′′2
9
= 1,
где x
′′
= x
′
−
√
2, y
′′
= y
′
.
График получившейся фигуры изображен на рис. 4.3.
Пример 4.2.2.
Если систему ко-
Рис. 4.3
ординат XOY повернуть на 30
o
и в новой системе X
′
OY
′
взять
точку (1; 1) в качестве начала
координат, то получим новую си-
стему координат X
′′
O
′
Y
′′
, в ко-
торой возьмем эллипс
x
′′2
2
2
+
y
′′2
3
2
= 1. (4.28)
Какое уравнение имеет эллипс в исходной системе координат?
Р е ш е н и е
Из условия задачи следует, что
x
′
= x
′′
+ 1
y
′
= y
′′
+ 1
, откуда
x
′′
= x
′
− 1
y
′′
= y
′
− 1
. (4.29)
Подставим (4.29) в (4.28). Получим
(x
′
− 1)
2
4
+
(y
′
− 1)
2
9
= 1. (4.30)
Очевидно, что поворот системы координат XOY на 30
0
равносилен
повороту системы координат X
′
OY
′
на угол (−30
0
), поэтому
x
′
= x
√
3
2
+ y
1
2
y
′
= −x
1
2
+ y
√
3
2
. (4.31)
37
  Разделим обе части уравнения на 9, получим
                                  y ′′2
                                 ′′2
                              x +       = 1,
                                   9
              √
где x′′ = x′ − 2, y ′′ = y ′ .
   График получившейся фигуры изображен на рис. 4.3.

                                                Пример 4.2.2. Если систему ко-
                                             ординат XOY повернуть на 30o
                                             и в новой системе X ′ OY ′ взять
                                             точку (1; 1) в качестве начала
                                             координат, то получим новую си-
                                             стему координат X ′′ O′ Y ′′ , в ко-
                                             торой возьмем эллипс
                                                     x′′2 y ′′2
                                                         + 2 = 1.         (4.28)
              Рис. 4.3
                                                     22    3
Какое уравнение имеет эллипс в исходной системе координат?

                              Решение
                                       
                                       
                                           x′ = x′′ + 1
  Из условия задачи следует, что       
                                                           , откуда
                                           y ′ = y ′′ + 1
                             
                             
                                x′′ = x′ − 1
                             
                                                .                         (4.29)
                                y ′′ = y ′ − 1

  Подставим (4.29) в (4.28). Получим
                         (x′ − 1)2 (y ′ − 1)2
                                  +           = 1.                        (4.30)
                             4          9
  Очевидно, что поворот системы координат XOY на 30 0 равносилен
повороту системы координат X ′ OY ′ на угол (−300 ), поэтому
                                 √
                       
                       
                       
                           ′       3     1
                       
                       
                       
                          x   = x     + y
                       
                                  2      2
                                              .              (4.31)
                       
                       
                       
                       
                                          √
                       
                       
                       
                          ′        1       3
                        y = −x + y
                                    2      2
                                       37

Страницы