Решение задач по аналитической геометрии. Линии второго порядка. Глушакова Т.Н - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Р е ш е н и е
Из (4.25) следует, что
A = C = 5, B = 4, (4.26)
поэтому AC − B
2
= 25 − 16 = 9, следовательно, это эллиптический
случай.
Из (4.26) следует, что tg 2α =
8
0
= +∞, поэтому 2α =
π
2
и α =
π
4
.
Таким образом, формулы (4.6) примут вид
x = x
′
√
2
2
− y
′
√
2
2
y = x
′
sin
√
2
2
+ y
′
√
2
2
,
откуда
x =
√
2
2
(x
′
− y
′
)
y =
√
2
2
(x
′
+ y
′
)
. (4.27)
Подставим уравнение (4.27) в (4.25), получим
5
2
(x
′
−y
′
)
2
+
8
2
(x
′
−y
′
)(x
′
+y
′
)+
5
2
(x
′
+y
′
)
2
−9
√
2(x
′
−y
′
)−9
√
2(x
′
+y
′
)+9 = 0,
откуда
5(x
′2
− 2x
′
y
′
+ y
′2
) + 8(x
′2
− y
′2
) + 5(x
′2
+ 2x
′
y
′
+ y
′2
) − 36
√
2x
′
+ 18 = 0.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получим
18x
′2
+ 2y
′2
− 36
√
2x
′
+ 18 = 0 или
y
′2
+ 9(x
′2
− 2
√
2x
′
+ 2) − 9 = 0.
Выделим полный квадрат при x:
y
′2
+ 9(x
′
−
√
2)
2
− 9 = 0 или
9(x
′
−
√
2)
2
+ y
′2
= 9.
36
                                   Решение

   Из (4.25) следует, что

                             A = C = 5,          B = 4,                         (4.26)

поэтому AC − B 2 = 25 − 16 = 9, следовательно, это эллиптический
случай.
                                  8                           π            π
   Из (4.26) следует, что tg 2α = = +∞, поэтому 2α =              и α= .
                                  0                           2            4
                                                         √         √
                                                 
                                                 
                                                 
                                                  x = x′
                                                            2      ′ 2
                                                 
                                                 
                                                 
                                                              −  y
                                                 
                                                          2         2
   Таким образом, формулы (4.6) примут вид                                  ,
                                                 
                                                 
                                                 
                                                              √         √
                                                 
                                                 
                                                       ′       2         2
                                                 
                                                  y = x sin       + y′
                                                               2         2
откуда                          √
                          
                          
                                  2 ′
                          
                          
                          
                          
                             x =    (x − y ′ )
                          
                                 2
                                               .                       (4.27)
                          
                          
                          
                          
                                 √
                          
                          
                                  2 ′
                          
                           y =     (x + y ′ )
                                  2
   Подставим уравнение (4.27) в (4.25), получим
5 ′ ′ 2 8 ′ ′ ′ ′ 5 ′ ′ 2 √ ′ ′                  √
  (x −y ) + (x −y )(x +y )+ (x +y ) −9 2(x −y )−9 2(x′ +y ′ )+9 = 0,
2          2               2
откуда
                                                                         √
5(x′2 − 2x′ y ′ + y ′2 ) + 8(x′2 − y ′2 ) + 5(x′2 + 2x′ y ′ + y ′2 ) − 36 2x′ + 18 = 0.

   Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получим
                                    √
                 18x′2 + 2y ′2 − 36 2x′ + 18 = 0 или
                                              √
                              y ′2 + 9(x′2 − 2 2x′ + 2) − 9 = 0.
   Выделим полный квадрат при x:

                                      √
                         y ′2 + 9(x′ − 2)2 − 9 = 0 или
                                      √ 2
                               9(x − 2) + y ′2 = 9.
                                  ′




                                          36

Страницы