Решение задач по аналитической геометрии. Линии второго порядка. Глушакова Т.Н - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Подставим (4.31) в (4.30), получим
√
3
2
x +
1
2
y − 1
2
4
+
−
1
2
x +
√
3
2
y − 1
2
9
= 1.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получим уравнение
эллипса в исходной системе координат
31x
2
+ 21y
2
+ 10
√
3xy + (16 − 36
√
3)x − (36 + 16
√
3)y − 92 = 0.
Упражнения
№ 420
∗
. Исследовать кривые, приведя их уравнения к простейшему
виду:
1) x
2
+ y
2
− 2x + 6y − 5 = 0;
2) x
2
+ 4y
2
+ 4x − 8y − 8 = 0;
3) x
2
+ 2y
2
+ 8x − 4 = 0.
Р е ш е н и е
1) Выделим в исходном уравнении x
2
+ y
2
−2x + 6y −5 = 0 полные
квадраты при x и y, получим (x−1)
2
+(y +3)
2
−1−9−5 = 0, откуда
(x −1)
2
+ (y + 3)
2
−15 = 0 и, следовательно, (x −1)
2
+ (y + 3)
2
= 15 —
уравнение окружности.
2) Выделим в исходном уравнении x
2
+ 4y
2
+ 4x − 8y −8 = 0 полные
квадраты при x и y, получим (x + 2)
2
+ 4(y −1)
2
−4 −4 −8 = 0, откуда
(x + 2)
2
+ 4(y − 1)
2
= 16 и, следовательно,
(x + 2)
2
16
+
(y − 1)
2
4
= 1 —
уравнение эллипса.
3) Выделим в исходном уравнении x
2
+ 2y
2
+ 8x − 4 = 0 полные
квадраты при x и y, получим (x + 4)
2
+ 2y
2
− 16 − 4 = 0, откуда
(x + 4)
2
+ 2y
2
= 20 и, следовательно,
(x + 4)
2
20
+
y
2
10
= 1 — уравнение
эллипса.
38
  Подставим (4.31) в (4.30), получим
           √                2         √        2
           
               3     1               1     3
                 x + y − 1       − x +     y − 1
              2      2               2    2
                                +                    = 1.
                    4                    9
   Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получим уравнение
эллипса в исходной системе координат
                     √              √              √
    31x2 + 21y 2 + 10 3xy + (16 − 36 3)x − (36 + 16 3)y − 92 = 0.



                             Упражнения

   № 420∗ . Исследовать кривые, приведя их уравнения к простейшему
виду:
1) x2 + y 2 − 2x + 6y − 5 = 0;
2) x2 + 4y 2 + 4x − 8y − 8 = 0;
3) x2 + 2y 2 + 8x − 4 = 0.
                                 Решение
   1) Выделим в исходном уравнении x2 + y 2 − 2x + 6y − 5 = 0 полные
квадраты при x и y, получим (x − 1)2 + (y + 3)2 − 1 − 9 − 5 = 0, откуда
(x − 1)2 + (y + 3)2 − 15 = 0 и, следовательно, (x − 1)2 + (y + 3)2 = 15 —
уравнение окружности.
   2) Выделим в исходном уравнении x2 + 4y 2 + 4x − 8y − 8 = 0 полные
квадраты при x и y, получим (x + 2)2 + 4(y − 1)2 − 4 − 4 − 8 = 0, откуда
                                            (x + 2)2 (y − 1)2
(x + 2)2 + 4(y − 1)2 = 16 и, следовательно,         +         =1—
                                               16       4
уравнение эллипса.
   3) Выделим в исходном уравнении x2 + 2y 2 + 8x − 4 = 0 полные
квадраты при x и y, получим (x + 4)2 + 2y 2 − 16 − 4 = 0, откуда
                                         (x + 4)2 y 2
(x + 4) + 2y = 20 и, следовательно,
       2     2
                                                 +    = 1 — уравнение
                                            20     10
эллипса.




                                   38

Страницы