Решение задач по аналитической геометрии. Линии второго порядка. Глушакова Т.Н - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

5) x
2
− 4y
2
+ 2x + 16y − 6 = 0;
6) x
2
− y
2
− 4x + 6y − 5 = 0.
Р е ш е н и е
Рассмотрим случай 2).
В уравнении 5x
2
−6y
2
+10x−12y−31 = 0 выделим полные квадраты
при x и y, получим 5(x + 1)
2
− 6(y + 1)
2
− 5 + 6 − 31 = 0, откуда
5(x + 1)
2
−6(y + 1)
2
= 30 и, следовательно,
(x + 1)
2
6
−
(y + 1)
2
5
= 1.
№ 472
∗
. Исследовать кривые, предварительно повернув оси координат
так, чтобы преобразованные уравнения не содержали члена с произве-
дением координат:
1) x
2
+ 4xy + y
2
− 3 = 0;
2) 3x
2
+ 24xy − 4y
2
+ 10x = 0;
3) 2x
2
+ 24xy − 5y
2
− 15x + 20y − 12 = 0.
Р е ш е н и е
Рассмотрим случай 2).
Так как 3x
2
+ 24xy − 4y
2
+ 10x = 0, то A = 3, B = 12, C = −4.
Найдем тип кривой. Так как AC − B
2
= −12 − 12
2
< 0, то это
гипербола.
Вычислим tg 2α =
24
3 + 4
=
24
7
. Зная tg 2α, нам нужно найти cos α,
sin α. Так как tg 2α =
2tg α
1 − tg
2
α
, cos α =
1
√
1 + tg
2
α
, sin α =
tg α
√
1 + tg
2
α
,
то, решая уравнение
24
7
=
2tg α
1 − tg
2
α
, получим tg α =
3
4
или tg α = −
4
3
.
Выберем наименьшее по модулю значение tg α =
3
4
, откуда cos α =
4
5
,
sin α =
3
5
, и для поворота осей координат воспользуемся формулами
x = x
′
4
5
− y
′
3
5
y = x
′
3
5
+ y
′
4
5
или
x =
1
5
(4x
′
− 3y
′
)
y =
1
5
(3x
′
+ 4y
′
)
, тогда
40
5) x2 − 4y 2 + 2x + 16y − 6 = 0;
6) x2 − y 2 − 4x + 6y − 5 = 0.
                                     Решение
  Рассмотрим случай 2).
  В уравнении 5x2 −6y 2 +10x−12y −31 = 0 выделим полные квадраты
при x и y, получим 5(x + 1)2 − 6(y + 1)2 − 5 + 6 − 31 = 0, откуда
                                                         (x + 1)2 (y + 1)2
        2              2
5(x + 1) − 6(y + 1) = 30         и, следовательно,               −         = 1.
                                                            6        5

   № 472∗ . Исследовать кривые, предварительно повернув оси координат
так, чтобы преобразованные уравнения не содержали члена с произве-
дением координат:
1) x2 + 4xy + y 2 − 3 = 0;
2) 3x2 + 24xy − 4y 2 + 10x = 0;
3) 2x2 + 24xy − 5y 2 − 15x + 20y − 12 = 0.

                                     Решение
   Рассмотрим случай 2).
   Так как 3x2 + 24xy − 4y 2 + 10x = 0, то A = 3, B = 12, C = −4.
Найдем тип кривой. Так как AC − B 2 = −12 − 122 < 0, то это
гипербола.
                        24       24
   Вычислим tg 2α =          = . Зная tg 2α, нам нужно найти cos α,
                       3+4        7
                         2tg α                   1                     tg α
sin α. Так как tg 2α =            , cos α = √            , sin α = √            ,
                       1 − tg 2 α             1 + tg 2 α             1 + tg 2 α
                    24     2tg α                     3              4
то, решая уравнение    =            , получим tg α =   или tg α = −   .
                     7   1 − tg 2 α                  4              3
                                                   3                4
   Выберем наименьшее по модулю значение tg α = , откуда cos α = ,
                                                   4                5
       3
sin α = , и для поворота осей координат воспользуемся формулами
       5
                                       
        
                 ′4        ′3          
                                               1
        
        
        
        
            x=x        −y               
                                        
                                        
                                        
                                             x = (4x′ − 3y ′ )
        
                 5         5           
                                               5
        
                                 или    
                                                                 ,   тогда
        
                                       
                                        
        
                 3      4              
                                               1
        
        
           y = x′ + y ′                
                                        
                                            y = (3x′ + 4y ′ )
                  5      5                      5

                                        40

Страницы