Решение задач по аналитической геометрии. Линии второго порядка. Глушакова Т.Н - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

№ 506
∗
. Исследовать кривые, предварительно упростив их уравнения
с помощью преобразования координат:
1) 2x
2
− 4xy + 2y
2
+ 3x − 5y + 2 = 0;
2) x
2
− 2xy + y
2
+ 4x − 5 = 0.
Р е ш е н и е
Рассмотрим случай 1).
Так как 2x
2
−4xy +2y
2
+3x −5y +2 = 0, то A = C = 2, B = −2,
AC −B
2
= 2 ·2 −2
2
= 0 — это парабола. Найдем tg 2α = −
4
2 − 2
= −∞,
откуда 2α = −
π
2
, α = −
π
4
, тогда для поворота осей координат восполь-
зуемся формулами
x =
1
√
2
(x
′
+ y
′
)
y =
1
√
2
(−x
′
+ y
′
)
. Подставим выражения для ко-
ординат x, y в исходное уравнение, получим
2 ·
1
2
(x
′
+ y
′
)
2
− 4 ·
1
2
(x
′
+ y
′
)(−x
′
+ y
′
) + 2 ·
1
2
(−x
′
+ y
′
)
2
+
+
3
√
2
· (x
′
+ y
′
) −
5
√
2
· (−x
′
+ y
′
) + 2 = 0.
Приведем подобные слагаемые, получим
4x
′2
+ 4
√
2x
′
−
√
2y
′
+ 2 = 0.
Выделим полный квадрат при x, получим
4
x
′2
+ 2
1
√
2
x
′
+
1
2
−
1
2
!
−
√
2y
′
+ 2 = 0, откуда
4 ·
x
′
+
1
√
2
!
2
−
√
2y
′
= 0, то есть 4x
′′2
=
√
2y
′′
(x
′′
= x
′
+
1
√
2
, y
′′
= y
′
).
Таким образом, каноническое уравнение параболы имеет вид
x
′′2
=
√
2
4
y
′′
, где p =
√
2
8
.
44
   № 506∗ . Исследовать кривые, предварительно упростив их уравнения
с помощью преобразования координат:
1) 2x2 − 4xy + 2y 2 + 3x − 5y + 2 = 0;
2) x2 − 2xy + y 2 + 4x − 5 = 0.
                                  Решение
   Рассмотрим случай 1).
   Так как 2x2 − 4xy + 2y 2 + 3x − 5y + 2 = 0, то A = C = 2, B = −2,
                                                               4
AC − B 2 = 2 · 2 − 22 = 0 — это парабола. Найдем tg 2α = −         = −∞,
                                                              2−2
                 π         π
откуда 2α = − , α = − , тогда для поворота осей координат восполь-
                 2         4
                      
                      
                            1 ′
                      
                      
                      
                      
                        x = √   (x + y ′ )
                      
                      
                             2
зуемся формулами                            . Подставим выражения для ко-
                      
                      
                      
                            1
                      
                      
                      
                       y = √   (−x′ + y ′ )
                              2
ординат x, y в исходное уравнение, получим
          1                  1                             1
       2 · (x′ + y ′ )2 − 4 · (x′ + y ′ )(−x′ + y ′ ) + 2 · (−x′ + y ′ )2 +
          2                  2                             2
                   3                  5
               + √ · (x′ + y ′ ) − √ · (−x′ + y ′ ) + 2 = 0.
                      2                  2
  Приведем подобные слагаемые, получим
                          √      √
                  4x′2 + 4 2x′ − 2y ′ + 2 = 0.

  Выделим полный квадрат при x, получим
                            !
           ′2   1 ′ 1 1        √
        4 x + 2√ x + −        − 2y ′ + 2 = 0,                   откуда
                 2     2 2
                          !2
                     1             √                                   √
           4 · x′ + √          −       2y ′ = 0,   то есть   4x′′2 =       2y ′′
                      2
                                        1
                        (x′′ = x′ + √ , y ′′ = y ′ ).
                                         2
  Таким образом, каноническое уравнение параболы имеет вид
                           √                   √
                              2                   2
                   x′′2 =       y ′′ , где p =      .
                             4                  8
                                             44

Страницы