Руководство к решению задач по алгебре. Часть 1. Глушакова Т.Н - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

- 50 -
52
51
1
+
= С ,
52
51
2
+−
=С
и
11
2
51
5
1
2
51
5
1
++
−
−
+
=Φ
nn
n
.
Мы получили формулу Бине для чисел Фибоначчи .
Пример 2.7.5.2. Вычислить определитель
11...0000
.....................
00...1110
00...0111
00...0011
=
n
D
.
Р е ш е н и е .
Для
n
D
очевидным образом выполняется рекуррентное соотношение
21 −−
−
=
nnn
DDD
. (2.7.5.4)
Характеристическое уравнение для (2.7.5.4) имеет вид
0
1
2
=
+
−
λ
λ
, корни
которого
3
sin
3
cos
2
3
2
1
2,1
ππ
λ ii +=±= . Тогда
3
sin
3
cos
21
n
C
n
CD
n
π
π
+= ,
а константы
1
С
и
2
С
являются решением системы
=+−
=+
03
23
22
21
СС
СС
,
откуда
1
1
=
C
,
3
1
2
=C, а значит,
3
sin
3
1
3
cos
nn
D
n
π
π
+= .
Пример 2.7.5.3. Вычислить определитель 
                                         - 50 -

                         1+ 5                           −1 + 5
                     С1 =     ,                  С2 =
                          2 5                            2 5
и
                                          n +1                    n +1
                         1 � 1+ 5 �               1 � 1− 5 �
                    Φ n = ��        ��           − ��        ��          .
                          5� 2 �                   5� 2 �

     Мы получили формулу Бине для чисел Фибоначчи .

Пример 2.7.5.2. Вычислить определитель

                             1   1   0           0 ... 0     0
                             1   1   1           0 ... 0     0
                      Dn = 0     1   1           1 ... 0     0 .
                             ... ... ... ... ... ... ...
                             0   0   0           0 ... 1     1

                           Р е ш е н и е.
     Для Dn     очевидным образом выполняется рекуррентное соотношение
                            Dn =Dn −1 −Dn −2 .                                (2.7.5.4)
Характеристическое уравнение для (2.7.5.4) имеет вид              λ2 −λ +1 =0 , корни
                             1    3    π      π
которого               λ1,2 = ± i =cos +i sin .                                 Тогда
                             2 2       3      3
                                    πn     πn
                         Dn =C1 cos +C2 sin ,
                                     3      3
                                                                  �� С1 + 3С2 =2
а константы С1 и С2 являются решением системы                     �                ,
                                                              �� −С2 + 3С2 =0
                           1                               πn 1        πn
откуда     C1 =1,   C2 =      , а значит,           Dn =cos + sin         .
                            3                               3      3    3

Пример 2.7.5.3. Вычислить определитель

Страницы