Руководство к решению задач по алгебре. Часть 1. Глушакова Т.Н - 51 стр.

                                              - 51 -

                α +β        αβ            0            0     ...   0
                    1      α +β        αβ              0     ...   0
         Dn =       0        1        α +β αβ ...                  0     .
                    ...      ...          ...          ...   ...   ...
                    0        0            0            0     ... α +β

                                    Р е ш е н и е.
      Для      Dn         имеет        место       рекуррентное              соотношение
                          Dn =(α +β ) Dn −1 −αβDn −2                              (2.7.5.5)
Для     n =1    D1 =α +β ,          для         n =2         D2 =α 2 +αβ +β 2 .    Тогда
      D3 =(α +β )(α 2 +αβ +β 2 ) −αβ (α +β ) =(α +β )(α 2 +β 2 ) =0
                              =α 3 +α 2 β +αβ 2 +β 3 .
      Докажем методом математической индукции, что
               Dn =α n +α n −1 β +α n −2 β 2 +... +αβ n −1 +β n .
      Пусть для некоторого k доказано, что
               Dk =α k +α k −1 β +α k −2 β 2 +... +αβ k −1 +β k .
Тогда
         Dk +1 =(α +β )(α k +α k −1β +α k −2 β 2 +... +αβ k −1 +β k ) −

            −αβ (α k −1 +α k −2 β +α k −3 β 2 +... +αβ k −2 +β k −1 )


                                   У п р а ж н е н и я.
      Вычислить определители трехдиагональных матриц