Руководство к решению задач по алгебре. Часть 1. Глушакова Т.Н - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

- 48 -
являются решением системы
−=+
=+
bcaCC
a СС
22
22
2
11
2211
2 λλ
λλ
.
2)
λ
λ
λ
=
=
21
и
λ
вещественно . Тогда
nn
n
nCCA λλ
21
+= , а
1
C и
2
C
являются решением системы уравнений
−=+
=+
bcaCC
a СС
22
2
2
1
21
2 λλ
λλ
.
3)
1
λ
и
2
λ
– комплексно сопряженные числа , т.е .
)).sin(cos,||||(,
12121
ϕ
ϕ
ρ
λ
ρ
λ
λ
β
α
λ
β
α
λ
iii
+
=
=
=
−
=
+
=
Тогда
ϕρϕρ nCnCA
nn
n
sincos
21
+=
, а константы
1
С
и
2
С
находятся
из системы уравнений
−=+
=+
bcaCC
aCC
22
2
2
1
21
2sin2cos
sincos
ϕρϕρ
ϕρϕρ
.
Определение 15. Последовательность чисел
,...,,,...,,,
11321 +−
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
nnn
,
задаваемая рекуррентным соотношением
11 −+
Φ
+
Φ
=
Φ
nnn
,
1
1
=
Φ
,
2
2
=
Φ
,
называется
последовательностью чисел Фибоначчи
.
В 19-м веке французский математик Ж. Бине получил явную формулу
для чисел Фибоначчи
11
2
51
5
1
2
51
5
1
−+
−
−
+
=Φ
nn
.
Пример 2.7.5.1 (числа Фибоначчи ). Вычислить определитель
11...0000
.....................
00...1110
00...0111
00...0011
−
−
−
=Φ
n
.
Р е ш е н и е .
Раскладывая определитель
n
Φ
по последней строке , получим
n
                                            - 48 -

                                     � С1λ1 +С2 λ2 =a
являются решением системы             �                         .
                                           λ2
                                        � 1 1
                                         C    +2 C  λ2
                                                   2 2 =a 2
                                                            −bc
2) λ1 =λ2 =λ и λ вещественно. Тогда An =C1λ +nC2 λ , а C1 и C2
                                                                   n              n

                                                     � С1λ +С2 λ =a
являются решением системы уравнений                   �                         .
                                                        � 1
                                                         C λ2
                                                              +2C 2 λ2
                                                                       =a 2
                                                                            −bc
3)      λ1   и   λ2    –  комплексно        сопряженные   числа,      т.е.
     λ1 =α +iβ, λ2 =α −iβ ( | λ1 |=| λ2 |=ρ, λ1 =ρ(cos ϕ +i sin ϕ )).
Тогда    An =C1 ρ n cos nϕ +C2 ρ n sin nϕ , а константы С1 и С2 находятся
                        � C1 ρ cos ϕ +C2 ρ sin ϕ =a
из системы уравнений �                                      .
                         � C1 ρ cos 2ϕ +C2 ρ sin 2ϕ =a −bc
                               2              2        2



Определение 15. Последовательность чисел Φ1 , Φ 2 , Φ 3 ,..., Φ n −1 , Φ n , Φ n +1 ,... ,
задаваемая рекуррентным соотношением Φ n +1 =Φ n +Φ n −1 , Φ1 =1 , Φ 2 =2 ,
называется последовательностью чисел Фибоначчи.
      В 19-м веке французский математик Ж. Бине получил явную формулу
для чисел Фибоначчи
                                            n +1                       n −1
                         1 � 1+ 5 �                 1 � 1− 5 �
                      Φ = ��        �              − ��        �              .
                          5 � 2 ��                   5 � 2 ��

Пример 2.7.5.1 (числа Фибоначчи). Вычислить определитель
                               1      1     0      0 ...      0    0
                              −1      1     1      0 ...      0    0
                      Φn = 0         −1 1          1 ...      0    0 .
                               ...    ...   ... ... ...      ...   ...
                               0      0     0      0 ... −1 1
                               Р е ш е н и е.
        Раскладывая определитель Φ n по последней строке, получим



                                                                   n

Страницы