Руководство к решению задач по алгебре. Часть 1. Глушакова Т.Н - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

- 47 -
=
−nn
ac
ac
bac
ba
A
1
32
221
11
...000
..................
00...0
00...
00...0
.
Интерес к матрицам такого рода вызван тем, что они появляются при
решении различных матричных задач, например, при решении
дифференциальных уравнений разностными методами . Мы рассмотрим случай,
когда
aa
i
=
,
bb
i
=
,
cc
i
=
, и покажем способ вычисления определителей
таких матриц.
Вычисление определителей матриц Якоби основан на методе
рекуррентных соотношений. Итак, пусть дан определитель
a
b
ac
bac
ba
A
...000
...000
...............
0...0
0...
0...0
=
.
Обозначим этот определитель через
n
A
(
n
--- размер матрицы
A
).
Раскрывая этот определитель по последней строке и последнему столбцу,
получим
21 −−
−
=
nnn
bcAaAA . (2.7.5.1)
Главная задача заключается в том, чтобы найти явное выражение для
n
A
.
Уравнение (2.7.5.1) является однородным разностным уравнением, поэтому
решение уравнения (2.7.5.1) будем искать в виде
n
n
A λ= . Подставляя
n
n
A λ=
в (2.7.5.1), получим
21
−
−
−
=
nnn
bc
a
λ
λ
λ
или
0
2
=
+
−
a
λ
λ
. (2.7.5.2)
Возможны три случая.
1) Решения уравнения (2.7.5.2)
1
λ
и
2
λ
различны и вещественны. В этом
случае общее решение (2.7.5.1) имеет вид
nn
n
CCA
2211
λλ +=
, где
1
C
и
2
C
                                             - 47 -

                         � a1 b1             0         ... 0      0�
                          � c a              b2        ... 0      0�
                           � 1       2                                 �
                     A =� 0 c2               a3        ... 0      0� .
                            �� ... ...       ...       ... ...   ... �
                              � 0 0          0         ... cn −1 an ��
      Интерес к матрицам такого рода вызван тем, что они появляются при
решении различных        матричных задач, например, при решении
дифференциальных уравнений разностными методами. Мы рассмотрим случай,
когда ai =a , bi =b , ci =c , и покажем способ вычисления определителей
таких матриц.
      Вычисление определителей матриц Якоби основан на методе
рекуррентных     соотношений.     Итак,     пусть    дан   определитель

                                         a         b     0 ... 0
                                         c         a     b   ... 0
                                         0         c     a ... 0
                                 A=                                      .
                                         ... ... ... ... ...
                                         0         0     0 ... b
                                         0         0     0 ... a

     Обозначим этот определитель через An ( n --- размер матрицы A ).
Раскрывая этот определитель по последней строке и последнему столбцу,
получим
                        An =aAn −1 −bcAn −2 .                 (2.7.5.1)
   Главная задача заключается в том, чтобы найти явное выражение для An .
Уравнение (2.7.5.1) является однородным разностным уравнением, поэтому
решение уравнения     (2.7.5.1)    будем искать в виде                       An =λn . Подставляя
An =λn      в       (2.7.5.1),       получим                  λn =aλn −1 −bcλn −2            или
                              λ2 −aλ +bc =0 .                                            (2.7.5.2)
     Возможны три случая.
1) Решения уравнения (2.7.5.2) λ1 и λ2 различны и вещественны. В этом
случае общее решение (2.7.5.1) имеет вид An =C1λ1 +C2 λ2 , где C1 и C2
                                                                     n           n

Страницы