ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
При выводе (10.3) мы использовали свойство 2.3 и учли, что u
t
=
0
=
0.
Здесь U[x, p]=
L
u[x, t], Q[p]=
L
q.
Далее решаем дифференциальное уравнение
∑
x,x
U@x, pD-
p
ÅÅÅ
Å
Å
Å
a
2
U@x, pDã 0
DSolveA∂
x,x
U@x, pD−
p
a
2
U@x, pD 0, U@x, pD,xE
99U@x, pD →
è!!!!
px
a
C@1D+
−
è!!!!
px
a
C@2D==
Поскольку нас интересует решение U[x,p], ограниченное при Rep
ض
и 0
< x <1, то постоянную C[1] следует положить, равной нулю, а
постоянную C[2] определим из граничного условия
U[0, p]==Q[p]: J
‰
-
è
!!!!
px
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
a
C@2DN
x
Ø
0
==
Q@pD;C@2D
==
Q@pD.
Следовательно, U[x,p]=C[2]
−
è!!!!
px
a
= Q[p]
−
è!!!!
px
a
.
Теперь для нахождения
u[x, t]=L
-1
@U@x, pDD=L
-1
A
Q@pD ‰
-
è
!!!!
px
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
a
E
можно воспользоваться формулой Меллина (4.1). Однако проще
воспользоваться уже установленной при решении задачи в разделе 8
формулой
LA1 −
2
è!!!
π
‡
0
m
2
è!!!!
t
−x
2
xE =
1
p
−m
è
!!!!
p
(10.4)
В нашем случае m Ø
x
Å
Å
Å
Å
a
, формула (10.4) приобретает вид
L
A
1 − Erf
A
x
2a
è
!!!
t
E
E
=
−
è!!!!
px
a
p
(10.5)
Далее заметим, что предел при tØ+0 функции 1 - ErfA
x
ÅÅÅÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
Å
Å
Å
2a
è!!
t
E равен
нулю, так как Erf@+¶D= 1.
Поэтому по свойству 2.3
−
è!!!!
px
a
=p(
−
è!!!!
px
a
p
)=p
L
A
1 − Erf
A
x
2a
è
!!!
t
E
E
=
LA∂
t
I1 − ErfA
x
2a
è
!!!
t
EME = LA
−
x
2
4a
2
t
x
2a
è
!!!
π t
3ê2
E
35
35
При выводе (10.3) мы использовали свойство 2.3 и учли, что ut= 0 = 0.
Здесь U[x, p]= Lu[x, t], Q[p]= Lq.
Далее решаем дифференциальное уравнение
p
∑x,x U@x, pD - ÅÅÅÅ
a2
ÅÅ U@x, pD ã 0
DSolveA∂x,x U @x, pD − U @x, pD
p
0, U@x, pD, xE
a2
99U@x, pD →
è!!!! è!!!!
p x p x
−
a C@1D + a C@2D==
Поскольку нас интересует решение U[x,p], ограниченное при Repض и 0
< x <1, то постоянную C[1] следует положить, равной нулю, а
U[0, p]==Q[p]: J‰ - ÅÅÅÅÅÅÅÅaÅÅÅÅÅÅ C@2DN
постоянную C[2] определим из граничного условия
è!!!!
p x
== Q@ pD; C@2D == Q@ pD.
xØ0 è!!!! è!!!!
p x p x
Следовательно, U[x,p]=C[2] − a = Q[p] − a .
Теперь для нахождения
u[x, t]=L-1@U@x, pDD =L-1AQ@ pD ‰- ÅÅÅÅÅÅÅÅaÅÅÅÅÅÅ E
è!!!!
p x
можно воспользоваться формулой Меллина (4.1). Однако проще
воспользоваться уже установленной при решении задачи в разделе 8
формулой
è!!!!
‡
è!!!!
m
è!!!
2 t
2 −x2 1 −m p
LA1 − π
xE = p (10.4)
0
В нашем случае m Ø ÅÅÅÅxa , формула (10.4) приобретает вид
EE=
è!!!!
è!!!
p x
x −
LA1 − ErfA 2a t p
a
(10.5)
Далее заметим, что предел при tØ+0 функции 1 - Erf A ÅÅÅÅÅÅÅÅxè!!
ÅÅÅÅÅÅ E равен
нулю, так как Erf @+¶D = 1. Поэтому по свойству 2.3
2a t
EE =
è!!!! è!!!!
è!!!
p x p x
− − x
= p ( a
) = pLA1 − ErfA
LA∂t I1 − ErfA EME = LA E
a
p 2a t
è!!! è!!! 3ê2
x2
−
x x
4 a2 t
2a t 2a π t
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- …
- следующая ›
- последняя »
