ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
u@x_, t_D =
1
ω
HSec@ωDSin@t ωDSin@x ωDL+ g1@θD
1
2 ω Hπ
2
− 4 ω
2
L
J
− π t
J
1
2
πH3t−xL
J−Hπ+2 ωLHypergeometric2F1A1,
1
2
−
ω
π
,
3
2
−
ω
π
, −
πHt−xL
E−
Hπ−2 ωL Hypergeometric2F1A1,
1
2
+
ω
π
,
3
2
+
ω
π
, −
πHt−xL
EN+
1
π
2
− 4 ω
2
J
1
2
πH3t+xL
JHπ+2 ωLHypergeometric2F1A
1,
1
2
−
ω
π
,
3
2
−
ω
π
, −
πHt+xL
E+ Hπ−2 ωL
Hypergeometric2F1A1,
1
2
+
ω
π
,
3
2
+
ω
π
, −
πHt+xL
ENNNN+
1
ω
HSec@ωDSin@t ωDSin@x ωDL
Вслучае, когда при некотором целом k
w
2
=
Hk
-
1 ê2L
2
p
2
формула H9.5L несколько усложняется, однако доказательство
принципиально не изменяется.
10. Второй пример решения задачи для уравнения с частными
производными с помощью преобразования Лапласа
Задача. Найти решение уравнения распространения тепла в
полубесконечном стержне, на конце которого x=0 поддерживается
температура q[t], а в начальный момент t=0 температура стержня
была равна нулю.
∂
t
u@x, tD− a
2
∂
x,x
u@x, tD 0,
0 < x <∞, t > 0,
H10.1L
при
у
словиях
u
x=0
= q@tD;
u
t=0
= 0. H10.2L
Решение. Будем предполагать, что как заданная функция q[t], так и
искомая функция u[x, t] и её производная по t растут при t
ض
не быстрее
C ‰
a
t
. Это позволяет применить к (10.1) и (10.2) преобразование Лапласа
L. После этого задача (10.1)-(10.2) переходит в эквивалентную задачу
∂
x
,
x
U
@
x
,
p
D−
p
a
2
U
@
x
,
p
D 0;
U
@0,
p
D
Q
@
p
D, (10.3)
34
34
HSec@ωD Sin@t ωD Sin@x ωDL + g1@θD
1
u@x_, t_D =
ω
Hπ2− 4 ω2 L
1
2ω
J J π H3 t−xL
J−Hπ + 2 ωL Hypergeometric2F1A1,
− πt 1 1 ω
2 − ,
2 π
π Ht−xL
E−
3 ω
− ,−
2 π
Hπ − 2 ωL Hypergeometric2F1A1, π Ht−xL
EN +
1 ω 3 ω
+ , + ,−
2 π 2 π
J π H3 t+xL
JHπ + 2 ωL Hypergeometric2F1A
1 1
2
π2 − 4 ω2
π Ht+xL
E + Hπ − 2 ωL
1 ω 3 ω
1, − , − ,−
2 π 2 π
π Ht+xL
ENNNN +
1 ω 3 ω
Hypergeometric2F1A1, + , + ,−
2 π 2 π
HSec@ωD Sin@t ωD Sin@x ωDL
1
ω
В случае, когда при некотором целом k w 2 = Hk - 1 ê 2L2 p 2
формула H9.5L несколько усложняется, однако доказательство
принципиально не изменяется.
10. Второй пример решения задачи для уравнения с частными
производными с помощью преобразования Лапласа
Задача. Найти решение уравнения распространения тепла в
полубесконечном стержне, на конце которого x=0 поддерживается
температура q[t], а в начальный момент t=0 температура стержня
была равна нулю.
∂t u@x, tD − a2 ∂x,x u@x, tD 0,
0 < x < ∞, t > 0, H10.1L
при условиях
H10.2L
ux=0 = q@tD;
ut=0 = 0.
Решение. Будем предполагать, что как заданная функция q[t], так и
искомая функция u[x, t] и её производная по t растут при tض не быстрее
C ‰ a t . Это позволяет применить к (10.1) и (10.2) преобразование Лапласа
L. После этого задача (10.1)-(10.2) переходит в эквивалентную задачу
p
∂x,x U@x, pD − a2 U@x, pD 0; U@0, pD Q@pD, (10.3)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- …
- следующая ›
- последняя »
