Преобразование Лапласа. Свойства и применения. Глушко А.В - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Лекция 1
1. Определение преобразования Лапласа. Оригинал и изображение.
Пусть f@tD -интегрируемая на (0,T) при любом T>0 функция, равная
нулю при t>0: f@tD =0 при t<0. Если эта функция при t>0 удовлетворяет
оценке
» f@
t
D» ≤ C
α
t
, C > 0, α≥0,
t
> 0, (1.1)
то можно рассмотреть интеграл
F[p]=
‡
0
∞
f@tD
−pt
t, p =σ+ξ, σ>α, ξ∈R (1.2)
Действительно, справедлива оценка
»F[p]»≤
‡
0
∞
» f@tD»
−σ t
t =
Ÿ
0
∞
» f@tD
−α t
»
−Hσ−αLt
t≤
≤С
Ÿ
0
∞
−Hσ−αL
t
t=
С


H
σ−α
L
<∞ (1.3)
При выводе (1.3) была использована оценка (1.1). Из оценки (1.3), в
частности, следует, что »F[p]»Ø0 s=Repض.
Функция F[p] является аналитической функцией комплесной
переменной p в полуплоскости Rep>a. Для того чтобы это проверить,
находим пока формально

p
=
‡
0
∞
f@tDH−tL
−pt
t (1.4)
Как и при выводе (1.3), находим
»
F
@
p
D

p
»≤
Ÿ
0
∞
» f@tD
−α
t
» t
−Hσ−αL
t
t≤С
Ÿ
0
∞
t
−Hσ−αL
t
t=
−С

H
σ−α
L
Ÿ
0
∞
t ∂
t
−Hσ−αL
t
t
−
С

H
σ−α
L
(t
−Hσ−αL
t
) »
0
∞
−
Ÿ
0
∞
−Hσ−αL
t
t)=
С



H
σ−α
L
2
Последнее означает, что интеграл равномерно по Rep>a сходится и,
следовательно, производная
„
F
@pD
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
„
p
существует при Rep>a, и формула (1.4)
справедлива при Rep>a.
Интеграл (1.2) называется преобразование Лапласа функции f[t] и
обозначается L[f]. В этом случае функция f[t] называется оригиналом, а
функция L[f]=F[p] -изображением.
Преобразование Лапласа можно связать с преобразованием Фурье.
Действительно, из (1.2) имеем
L[f][p]=
‡
0
∞
f@tD
−Hσ+ξLt
t =
Ÿ
0
∞
Hf@tD
−σ t
L
−ξ t
t =
Ÿ
−∞
∞
g@tD
−ξ
t
t,
4
                                                    4




                                                    Лекция 1


1. Определение преобразования Лапласа. Оригинал и изображение.
Пусть f@tD -интегрируемая на (0,T) при любом T>0 функция, равная
нулю при t>0: f@tD =0 при t<0. Если эта функция при t>0 удовлетворяет
оценке
                      » f@tD » ≤ C                 α t,     C > 0, α ≥ 0 , t > 0,                      (1.1)
то можно рассмотреть интеграл
           F[p]=‡
                      ∞
                                         −p t
                           f@tD                   t, p = σ +           ξ, σ > α, ξ ∈ R                 (1.2)
                      0
Действительно, справедлива оценка
     »F[p]»≤‡         » f@tD »                      t = Ÿ0 » f@tD                     »
                  ∞
                                           −σ t             ∞                  −α t         −Hσ−αL t   t≤
                           ≤СŸ0
                0                ∞
                                                            Hσ−αL
                                         −Hσ−αL t             С
                                                     t=                <∞                              (1.3)


частности, следует, что »F[p]»Ø0 s=Repض.
  При выводе (1.3) была использована оценка (1.1). Из оценки (1.3), в

  Функция F[p] является аналитической функцией комплесной
переменной p в полуплоскости Rep>a. Для того чтобы это проверить,
находим пока формально
                                =‡        f@tD H−tL
                                     ∞
                           F                                    −p t
                           p                                            t                              (1.4)
                                     0
Как и при выводе (1.3), находим
       » F @pD »≤
Ÿ0 » f@tD −α t » t −Hσ−αL t t≤СŸ0 t −Hσ−αL t t=                                            Ÿ0 t ∂t
           p
  ∞                                    ∞                                                    ∞
                                                                                   Hσ−αL
                                                                                    −С                 −Hσ−αL t   t
                    ) »∞
                       0 − Ÿ0
                            ∞
 Hσ−αL (t                                t)= Hσ−αL
   −С      −Hσ−αL t           −Hσ−αL t         С
                                                  2


     Последнее означает, что интеграл равномерно по Rep>a сходится и,
                             „ F@ pD
следовательно, производная ÅÅÅÅÅÅÅÅ
                               „ ÅpÅÅÅÅÅÅÅ существует при Rep>a, и формула (1.4)
справедлива при Rep>a.
   Интеграл (1.2) называется преобразование Лапласа функции f[t] и
обозначается L[f]. В этом случае функция f[t] называется оригиналом, а
функция L[f]=F[p] -изображением.
   Преобразование Лапласа можно связать с преобразованием Фурье.
Действительно, из (1.2) имеем
L[f][p]=‡                                       t = Ÿ0 Hf@tD                   L
            ∞
                               −Hσ+ ξL t                ∞               −σ t         − ξt
                f@tD                                                                            t=
Ÿ−∞ g@tD
 ∞         0
           − ξt
                      t,

Страницы