Преобразование Лапласа. Свойства и применения. Глушко А.В - 6 стр.

                                                          6




2.2. Дифференцирование изображения

                    =‡       f@tD H−tLm
             mF
                         ∞
                                                     −p t
             pm                                                t, m=1,2,...; Rep>α
                         0
    Для m=1 свойство 2.2 уже установлено. Для любого m свойство
доказывается аналогично.

 2.3. Преобразование Лапласа производных

L@f HmL @tDD = p m L@fD@pD − Hp m−1 f@+0D + p m−2 f H1L @+0D + ... + f Hm−1L @+0DL


                                                                                        ƒ
                                                                                        ƒ
     Для m=1 с помощью интегрирования по частям находим
     L@f H1L @tDD = ‡ f H1L @tD                                                         ƒ
                                                                                        ƒ
                                                                                        ƒ
                                                                                        ƒ     ‡ f@tD ∂t
                                 ∞                                                              ∞

                                                                                        ƒ
                                                                                        ƒ
                                                   −p t                         −p t      ∞                    −p t
                                                              t = f@tD                    0 −                          t=
                                 0                                                             0

           p‡
                  ∞
                                 −p t
                      f@tD                  t − f@+0D = p L@fD − f@+0D
                0
    При этом мы учли, что выполняются оценки
   »f@tD      −p t »=»f@tD              »   −σ t =»f@tD             −α t    »   −Hσ−αL t     ≤С   −Hσ−αL t   → 0 при
    σ > α и t→∞.                     Для любого m свойство 2.3 устанавливается по
индукции.

   2.4. Сдвиг преобразование Лапласа
                      L@fD@p − p0 D =L@f                      p0 t D@pD,        Rep>α+Rep0
           Доказательство свойства 2.4. очевидно.

   2.5. Преобразование Лапласа и преобразование подобия
       При любом k>0 спрведливо тождество
                         L@f@ktDD@pD =                1
                                                      k
                                                              L@f@tDD@          p
                                                                                k   D


L@f@k tDD@pD = ‡ f@k tD                                             ‡                                                      D
                             ∞                                          ∞
                                                                                             τ        1                p
                                              −p t              1                       −p
                                                       t=       k           f@τD             k   τ=   k
                                                                                                          L@f@tDD@     k
                             0                                        0



   2.6. Сдвиг оригинала в преобразовании Лапласа
    L@f@t − t0 DD@pD = L@f@tDD@pD ∗                                 −p t0 ,

    L@f@t − t0 DD@pD =
                                                                                t0 > 0


     ‡ f@t − t0 D                       t=‡
       ∞                                       ∞
                             −p t                               −p τ−p t0                                     −p t0
                                                   f@τD                          τ = L@f@tDD@pD ∗
      t0                                      0


 à Найти преобразование Лапласа функции Хэвисайда q[t-2].