Преобразование Лапласа. Свойства и применения. Глушко А.В - 8 стр.

                                                                         8



 2.9. Преобразование Лапласа свёртки f * g.
                            L@f@tD ∗ gD@pD = L@f@tDD@pD L@gD@pD,

                        где Hf ∗ gL@tD = ‡
                                                                 t
                                                                     f@t − τD ∗ g@τD                   τ
                                                                0
Доказательство. Обозначим
                             ψ@tD = ‡
                                                t
                                                    f@t − τD ∗ g@τD                      τ
                                            0
Очевидно, что y@tD = 0 при t < 0, и справедлива оценка при t Ø ¶
 ƒ
 ƒ              ƒ
                ƒ
 ƒ
 ƒ              ƒ
                ƒ
 ƒ
 ƒ              ƒ
                ƒ ≤C ‡                     α Ht−τL                                                                 Hα+∂L t
 ƒ              ƒ
                        t                                                                                  C2
 ƒ
 ƒ              ƒ
                ƒ
                    2                                            ατ                 2         αt
   ψ@tD                                                 ∗                    τ=C t                 ≤
                       0                                                                                    ∂
при любом ¶ > 0. Для доказательства последнего неравенства мы
использовали также оценку
                             1
t ‰ -¶ t § max t ‰ -¶ t = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
                           ‰ ¶ÅÅ . Отсюда при Rep > a + ¶
ƒ
ƒ                             ƒ
                              ƒ                 ƒ
                                                ƒ      ƒ
                                                       ƒ
ƒ                             ƒ                 ƒ      ƒ
           0§t<¶

ƒ
ƒ                             ƒ
                              ƒ                 ƒ
                                                ƒ      ƒ
                                                       ƒ
ƒ L@ψ@tDD@pD
ƒ                             ƒ
                              ƒ   ‡             ƒ
                                                ƒ      ƒ
                                                       ƒ                                           ‡
ƒ                             ƒ                 ƒ      ƒ
                                     ∞                                                       C2        ∞

ƒ                             ƒ                 ƒ      ƒ
                                                                         −σ t                                   −Hσ −α−∂L t
                                ≤                 ψ@tD                             t≤                                         t=
                                    0                                                          ∂       0

      C2
   ∂ Hσ − α − ∂L
                                  , σ −α−∂>0

Таким образом, при Rep > a
Ψ@pD = ‡                                        t=‡              ‡
                ∞                                           ∞        t
                                   −p t                                                                     −p t
                    ψ@tD                                                 f@t − τD ∗ g@τD τ                           t=

               i                                            ty
                0                                           0        0


   ‡           j
               j‡ f@t − τD                                   z
                                                             z ∗ g@τD
       ∞            ∞

               k τ                                           {
                                                −p t
                                                                                    τ=

                i                                      sy
       0


    ‡           j
                j‡ f@sD                                 z
                                                        z ∗ g@τD
           ∞            ∞

                k 0                                     {
                                           −p s                                   −p τ
                                                                                             τ = L@f@tDD@pD L@gD@pD
           0
Здесь мы воспользовались теоремой Фубини и поменяли
порядок интегрирования.

                                                                     Лекция 2
3. Вычисление преобразования Лапласа основных функций
                             λt
3.1. f@tD =                       . Rep > Reλ, λεÂ

   L@f@tDD@pD = ‡                                                            t=‡
                                       ∞                                            ∞                               1
                                                  λt            −p t                         −Hp−λL t
                                                       ∗                                                   t=
                                       0                                           0                               p−λ
   3.2.f@tD = Sin@ω tD, ωεℜ
   По формулам Эйлера имеем
                                            H                                 L
                                   1                   ωt            − ωt
       Sin@ω tD =                                           −
                                  2