ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
L@g@tDD@pD=
H−1L
m
L@H−tL
m
ωt
D@pD = H−1L
m
m
p
m
L@
ωt
D@pD =
H−1L
m
m
p
m
L@Cos@ω tD+ Sin@ω tDD@pD=
H−1L
m
m
p
m
i
k
j
j
j
p
p
2
+ω
2
+
ω
p
2
+ω
2
y
{
z
z
z
=
H−1L
m
m
p
m
i
k
j
j
1
p −ω
y
{
z
z
= m !
1
H
p −ω
L
m+1
= m !
Hp +ωL
m+1
Hp
2
+ω
2
L
m+1
Применим далее к левой и правой частям поученного равенства операции
вещественной и мнимой части,
считая p вещесвенным и положительным.
L@t
m
Cos@ω tDD@pD = m ! ReA
Hp +ωL
m+1
Hp
2
+ω
2
L
m+1
E H3.1L
L@t
m
Sin@ω tDD@pD= m ! ImA
Hp +ωL
m+1
Hp
2
+ω
2
L
m+1
E H3.2L
Как было показано в лекции 1, стоящие в левых частях этих равенств
преобразования Лапласа, являются аналитическими функциями в
полуплоскости Rep>0. Кроме того, правые части в этих равенствах
очевидно аналитичны в полуплоскости Rep>0. Две аналитичны в
полуплоскости Rep>0 функции, совпадающие на вещественной
полупрямой, совпадают всюду в этой полуплоскости. Таким образом,
р
авенства (3.1) и (3.2) установлены в полном объёме.
Для конкретных m правые части в (3.1) и (3.2) могут быть найдены с
помощью пакета Mathematica. Приведём пример.
‡ Найти преобразования Лапласа L@t
6
Cos@w tDD и L@t
6
Sin@w tDD. Для
этого вначале воспользуемся формулами (3.1) и (3.2).
ComplexExpandA
Hp +∗ωL
7
Hp
2
+ω
2
L
7
E
p
7
Hp
2
+ω
2
L
7
−
21 p
5
ω
2
Hp
2
+ω
2
L
7
+
35 p
3
ω
4
Hp
2
+ω
2
L
7
−
7pω
6
Hp
2
+ω
2
L
7
+
i
k
j
j
7p
6
ω
Hp
2
+ω
2
L
7
−
35 p
4
ω
3
Hp
2
+ω
2
L
7
+
21 p
2
ω
5
Hp
2
+ω
2
L
7
−
ω
7
Hp
2
+ω
2
L
7
y
{
z
z
10
10 L@g@tDD@pD = H−1L D@pD = H−1L D@pD = m m m ω t m ω t L@H−tL L@ pm H−1L m m L@Cos@ω tD + Sin@ω tDD@pD = pm i j y z H−1Lm j z= m pm k p2 + ω2 p ω { + p2 + ω2 i j y Hp + ωLm+1 H−1L j z z = m! m pm k p − ω 1 1 { Hp − ωL Hp2 + ω2 Lm+1 m = m! m+1 Применим далее к левой и правой частям поученного равенства операции вещественной и мнимой части, считая p вещесвенным и положительным. Hp + E H3.1L ωLm+1 Hp2 + ω2 Lm+1 m L@t Cos@ω tDD@pD = m ! ReA Hp + E H3.2L ωLm+1 Hp2 ω2 Lm+1 L@tm Sin@ω tDD@pD = m ! ImA + Как было показано в лекции 1, стоящие в левых частях этих равенств преобразования Лапласа, являются аналитическими функциями в полуплоскости Rep>0. Кроме того, правые части в этих равенствах очевидно аналитичны в полуплоскости Rep>0. Две аналитичны в полуплоскости Rep>0 функции, совпадающие на вещественной полупрямой, совпадают всюду в этой полуплоскости. Таким образом, равенства (3.1) и (3.2) установлены в полном объёме. Для конкретных m правые части в (3.1) и (3.2) могут быть найдены с помощью пакета Mathematica. Приведём пример. ‡ Найти преобразования Лапласа L@t6 Cos@w tDD и L@t6 Sin@w tDD. Для этого вначале воспользуемся формулами (3.1) и (3.2). Hp + E ∗ ωL7 Hp2 + ω2 L7 ComplexExpandA Hp2 + ω2 L7 Hp2 + ω2 L7 Hp2 + ω2 L7 Hp2 + ω2 L7 p7 21 p5 ω2 35 p3 ω4 7 p ω6 − + − + i j y z j z k Hp2 + ω2 L7 Hp2 + ω2 L7 Hp2 + ω2 L7 Hp2 + ω2 L7 { 7 p6 ω 35 p4 ω3 21 p2 ω5 ω7 − + −
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »