Преобразование Лапласа. Свойства и применения. Глушко А.В - 10 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

L@g@tDD@pD=
H1L
m
L@HtL
m
ωt
D@pD = H1L
m
m

p
m
L@
ωt
D@pD =
H1L
m
m

p
m
L@Cos@ω tD+ Sin@ω tDD@pD=
H1L
m
m

p
m
i
k
j
j
j
p

p
2
2
+
ω

p
2
2
y
{
z
z
z
=
H1L
m
m

p
m
i
k
j
j
1

p −ω
y
{
z
z
= m !
1

H
p −ω
L
m+1
= m !
Hp +ωL
m+1

Hp
2
2
L
m+1
Применим далее к левой и правой частям поученного равенства операции
вещественной и мнимой части,
считая p вещесвенным и положительным.
L@t
m
Cos@ω tDD@pD = m ! ReA
Hp +ωL
m+1

Hp
2
2
L
m+1
E H3.1L
L@t
m
Sin@ω tDD@pD= m ! ImA
Hp +ωL
m+1

Hp
2
2
L
m+1
E H3.2L
Как было показано в лекции 1, стоящие в левых частях этих равенств
преобразования Лапласа, являются аналитическими функциями в
полуплоскости Rep>0. Кроме того, правые части в этих равенствах
очевидно аналитичны в полуплоскости Rep>0. Две аналитичны в
полуплоскости Rep>0 функции, совпадающие на вещественной
полупрямой, совпадают всюду в этой полуплоскости. Таким образом,
р
авенства (3.1) и (3.2) установлены в полном объёме.
Для конкретных m правые части в (3.1) и (3.2) могут быть найдены с
помощью пакета Mathematica. Приведём пример.
Найти преобразования Лапласа L@t
6
Cos@w tDD и L@t
6
Sin@w tDD. Для
этого вначале воспользуемся формулами (3.1) и (3.2).
ComplexExpandA
Hp +ωL
7

Hp
2
2
L
7
E
p
7

Hp
2
2
L
7
21 p
5
ω
2

Hp
2
2
L
7
+
35 p
3
ω
4

Hp
2
2
L
7
7pω
6

Hp
2
2
L
7
+
i
k
j
j
7p
6
ω

Hp
2
2
L
7
35 p
4
ω
3

Hp
2
2
L
7
+
21 p
2
ω
5

Hp
2
2
L
7
ω
7

Hp
2
2
L
7
y
{
z
z
10
                                                       10



 L@g@tDD@pD =

 H−1L                                     D@pD = H−1L                                    D@pD =
                                                                       m
           m                m       ω t                     m                      ω t
               L@H−tL                                                         L@
                                                                       pm

H−1L
                   m
       m
                           L@Cos@ω tD +               Sin@ω tDD@pD =
                   pm

                      i
                      j                                         y
                                                                z
H−1Lm                 j                                         z=
                   m

                   pm k p2 + ω2
                           p                           ω
                                                                {
                                +
                                                  p2   +   ω2

                       i
                       j                  y                       Hp + ωLm+1
 H−1L                  j                  z
                                          z = m!
                       m

                    pm k p − ω
                            1                        1
                                          {      Hp − ωL          Hp2 + ω2 Lm+1
           m
                                                             = m!
                                                         m+1


Применим далее к левой и правой частям поученного равенства операции
вещественной и мнимой части,
считая p вещесвенным и положительным.
                                                       Hp +
                                                                              E           H3.1L
                                                                    ωLm+1
                                                       Hp2 + ω2 Lm+1
               m
    L@t Cos@ω tDD@pD = m ! ReA

                                                       Hp +
                                                                              E           H3.2L
                                                                    ωLm+1
                                                       Hp2          ω2 Lm+1
    L@tm Sin@ω tDD@pD = m ! ImA
                                                                +

Как было показано в лекции 1, стоящие в левых частях этих равенств
 преобразования Лапласа, являются аналитическими функциями в
полуплоскости Rep>0. Кроме того, правые части в этих равенствах
очевидно аналитичны в полуплоскости Rep>0. Две аналитичны в
полуплоскости Rep>0 функции, совпадающие на вещественной
полупрямой, совпадают всюду в этой полуплоскости. Таким образом,
равенства (3.1) и (3.2) установлены в полном объёме.
Для конкретных m правые части в (3.1) и (3.2) могут быть найдены с
помощью пакета Mathematica. Приведём пример.

‡ Найти преобразования Лапласа L@t6 Cos@w tDD и L@t6 Sin@w tDD. Для
этого вначале воспользуемся формулами (3.1) и (3.2).

                                Hp +
                                                  E
                                          ∗ ωL7
                                 Hp2 + ω2 L7
ComplexExpandA



Hp2 + ω2 L7   Hp2 + ω2 L7   Hp2 + ω2 L7   Hp2 + ω2 L7
    p7         21 p5 ω2      35 p3 ω4       7 p ω6
            −             +             −             +

   i
   j                                                                                 y
                                                                                     z
   j                                                                                 z
   k Hp2 + ω2 L7   Hp2 + ω2 L7   Hp2 + ω2 L7   Hp2 + ω2 L7                           {
       7 p6 ω       35 p4 ω3      21 p2 ω5         ω7
                 −             +             −