Преобразование Лапласа. Свойства и применения. Глушко А.В - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Поэтому с помощью 3.1.
L@Sin@ω tDD@pD=
1

2
HL@
ω t
D@pD− L@
−ω t
D@pDL =
1

2
i
k
j
j
1

p −
ω
−
1

p +
ω
y
{
z
z
=
ω

p
2
+ω
2
L@Sin@ω tDD@pD=
ω

p
2
+ω
2
3.3.f@tD= Cos@ω tD, ωεℜ L@Cos@ω tDD@pD=
p

p
2
+ω
2
Доказательство аналогично.
3.4.f@tD= Sinh@ω tD, ωεℜ
По определению гиперболических функций Sinh@w tD=
H‰
w t
-‰
-w t
Lê2. Поэтому
L@Sinh@ω tDD@pD =
1

2
HL@
ω t
D@pD− L@
−ω t
D@pDL =
1

2
i
k
j
j
j
1

p −ω
−
1

p +ω
y
{
z
z
z
=
ω

p
2
−
ω
2
L@Sinh@ω tDD@pD =
ω

p
2
−
ω
2
3.5.f@tD= Cosh@ω tD, ωεℜ
L@Cosh@ω tDD@pD =
p

p
2
−
ω
2
Доказательство аналогично.
3.6. f@tD = t
m
λ t
. Rep > Reλ, λεÂ,m= 1, 2, ...
По свойству 2.2 имеем
L@f@tDD@pD=
‡
0
∞
t
m
λ t
∗
−pt
t =
H−1L
m
‡
0
∞
H−tL
m
λ t
∗
−pt
t = H−1L
m
m

p
m
L@
λ t
D@pD =
H−1L
m
m

p
m
i
k
j
j
j
1

p −λ
y
{
z
z
z
=
m !

Hp −λL
m+1
L@f@tDD@pD=
m !

Hp −λL
m
В частности, L@t
m
D =
m!
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
p
m
Hl=0L.
3.7. f@tD = t
m
Sin@ω tD. Rep > 0, ωεℜ,m= 1, 2, ...
f@tD= t
m
Cos@ω tD. Rep > 0, ωεℜ,m= 1, 2, ...
Как и в примере 3.6., находим для функции g@tD= t
m
‰
 wt
9
                                                        9



     Поэтому с помощью 3.1.
     L@Sin@ω tDD@pD =

              HL@             D@pD − L@                 D@pDL =
      1                  ωt                     − ωt
     2
         i
         j                                y
                                          z
         j                                z= 2
 1           1      1                           ω
         k p− ω                           {
                −
2                 p+ ω                        p + ω2
                                            ω
     L@Sin@ω tDD@pD =
                                      p2 + ω2
                                                                              p
    3.3.f@tD = Cos@ω tD, ωεℜ L@Cos@ω tDD@pD =
                                                                          p2 + ω2
     Доказательство аналогично.
     3.4.f@tD = Sinh@ω tD, ωεℜ

H‰ - ‰ -w t L ê 2. Поэтому
  По определению гиперболических функций Sinh@w tD =
    wt

     L@Sinh@ω tDD@pD =
                                                            1 i 1             y
     HL@              D@pD − L@              D@pDL =          j
                                                              j               z
                                                                              z= 2
1                                                                      1           ω
                                                            2 k p−ω           {
              ωt                      −ω t
                                                                    −
2                                                                     p+ω        p − ω2
                                             ω
     L@Sinh@ω tDD@pD =
                                          p2 − ω2
    3.5.f@tD = Cosh@ω tD, ωεℜ
                         p
    L@Cosh@ω tDD@pD =
                      p2 − ω2
     Доказательство аналогично.
                                  λt
     3.6. f@tD = tm                    . Rep > Reλ, λεÂ, m = 1, 2, ...
     По свойству 2.2 имеем
         L@f@tDD@pD = ‡
                                  ∞
                                               λt       −p t
                                       tm           ∗          t=
                                  0


 H−1L ‡               H−tL                          t = H−1L                       D@pD =
                  ∞                                                 m
          m                  m   λt          −p t              m              λt
                                      ∗                                  L@
              0                                                     pm
                   i
                   j
                       1 y
                           z
     H−1L          j       z=
                         m
                                            m!
                   k p−λ {              Hp − λLm+1
              m
                        pm
                       m!
                     Hp − λLm
     L@f@tDD@pD =

     В частности, L@tmD = ÅÅÅÅpÅmÅÅÅÅÅ Hl = 0L.
                           m!

     3.7. f@tD = tm Sin@ω tD. Rep > 0, ωεℜ, m = 1, 2, ...
           f@tD = tm Cos@ω tD. Rep > 0, ωεℜ, m = 1, 2, ...
      Как и в примере 3.6., находим для функции g@tD = tm ‰ Â                               wt

Страницы