Преобразование Лапласа. Свойства и применения. Глушко А.В - 7 стр.

                                                  7



   LaplaceTransform@UnitStep@t − 2D, t, pD
        −2 p

        p

 2.7. Интегрирование оригинала в преобразовании Лапласа
LA‡
      t
                       1
          f@τD τE@pD = p L@f@tDD@pD
    0
Доказательство. Обозначим
                               g[t]=‡
                                        t
                                            f@τD τ

Очевидно, что g '@tD = f @tD и g@+ 0D = 0.
                                        0


Поэтому с помощью интегрирования по частям находим
L@fD@pD = ‡ g '@tD
                      ∞
                                −p t
                                       t=
                      ƒ
                      ƒ
                      ƒ
                  0

                      ƒ
                      ƒ    ‡ g@tD ∂t                  t = p ‡ g@tD
                      ƒ
                             ∞                               ∞

                      ƒ
                      ƒ
               −p t    ∞                    −p t                     −p t
  g@tD                   −                                                  t = p L@g@tDD@pD

При этом мы учли, что g@+ 0D = 0 и в силу условия H1.1L
                       0
                            0                                0


 ƒ
 ƒ              ƒ
                ƒ   ƒ
                    ƒ            ƒ
                                 ƒ
 ƒ
 ƒ         −p t ƒ
                ƒ   ƒ
                    ƒ            ƒ
                                 ƒ
 ƒ
 ƒ              ƒ
                ƒ   ƒ
                  ≤ ƒ ‡ f@τD τ ƒ ƒ      ≤C‡
 ƒ              ƒ   ƒ            ƒ
                        t                     t

 ƒ
 ƒ              ƒ
                ƒ   ƒ
                    ƒ 0          ƒ
                                 ƒ
                                   −σ t         ατ
   g@tD                                              τ −σ t =
                                             0

     H α t − 1L −σ t ≤
   C
   α
     C −Hσ−αL t
                  → 0 при t → ∞, σ − α > 0, α > 0
 ƒ
 ƒ              ƒ
                ƒ   ƒ
                    ƒ            ƒ
                                 ƒ
     α
 ƒ
 ƒ              ƒ
           −p t ƒ   ƒ
                    ƒ            ƒ
                                 ƒ
 ƒ
 ƒ              ƒ
                ƒ   ƒ
                    ƒ ‡          ƒ
                                 ƒ
 ƒ              ƒ   ƒ            ƒ
                        t

 ƒ
 ƒ              ƒ
                ƒ   ƒ
                    ƒ 0          ƒ
                                 ƒ
   g@tD           ≤       f@τD τ   −σ t
                                        ≤ C t −σ t → 0 при t → ∞,

σ > 0, α = 0
Отсюда находим
LA‡
      t
                                    1
          f@τD τE@pD = L@g@tDD@pD = p L@f@tDD@pD

 2.8. Преобразование Лапласа от дроби f@tD ê t
    0



L@f@tD ê tD@pD = ‡ F@zD z, F@zD = L@fD@zD
                            ∞



Доказательство. Обозначив F@pD = L@f@tD ê tD@pD, найдём
                           p


∑p F@pD = L@H-tL f @tD ê tD@pD = -L@f @tDD@pD = - F@pD .
       Последнее равенство проинтегрируем по любому пути от p до
любой точки z = Rez = ¶
                          Φ@pD − Φ@∞D = ‡
                                               ∞
                                                      F@zD   z

Учитывая, что в силу H1.3L F@¶D = 0, получаем требуемое свойство 2.8
                                              p