Преобразование Лапласа. Свойства и применения. Глушко А.В - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

где g[t]=
f
@tD‰
-s
t
при t¥0 и g[t]=0 при t<0 ( преобразование Фурье
берётся со знаком -).
В дальнейшем все приводимые в тексте примеры будут отмечаться
знаком "à".
‡ Найти преобразование Лапласа функции Хэвисайда q[t]=1 при t¥0 и
q[t]=0 при t<0. Заметим, что оценка (1.1) для функции Хэвисайда q[t]
выполняется при С=1 и a=0. Следовательно, преобразование Лапласа
функции Хэвисайда существует и является
аналитической функцией при Rep>0.
L[θ][p]=
‡
0
∞
θ@tD
−pt
t =
Ÿ
0
∞
−pt
t =
1

p
В пакете Mathematica функции Хэвисайда q[t] обозначается UnitStep[t]
Plot@UnitStep@tD, 8t, −10, 10<D
-10 -5 5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Для нахождения преобразования Лапласа функции f[t] используется
командa LaplaceTransform[f[t],t,p]. Здесь через t обозначается аргумент
оригинала, через p -аргумент изображения. Найдём, например,
преобразование Лапласа функции Хэвисайда
LaplaceTransform@UnitStep@tD,t,pD
1

p
2. Свойства преобразования Лапласа L
2.1. Линейность
L[λ1f1+λ2f2]=λ1L[f1]+λ2L[f2], λ1=const., λ2=const.
В силу свойств интеграла
L[λ1f1+λ2f2]=
‡
0
∞
Hλ1f1@tD+λ2f2@tDL
−pt
t =λ1
‡
0
∞
f1@tD
−pt
t
+
λ2
‡
0
∞
f2@tD
−pt
t =λ1L[f1]+λ2L[f2]
5
                                                   5




  где g[t]= f @tD ‰ -s t при t¥0 и g[t]=0 при t<0 ( преобразование Фурье
берётся со знаком -).
  В дальнейшем все приводимые в тексте примеры будут отмечаться
знаком "à".
‡ Найти преобразование Лапласа функции Хэвисайда q[t]=1 при t¥0 и

q[t]=0 при t<0. Заметим, что оценка (1.1) для функции Хэвисайда q[t]
выполняется при С=1 и a=0. Следовательно, преобразование Лапласа
функции Хэвисайда существует и является
 аналитической функцией при Rep>0.
               L[θ][p]=‡ θ@tD                          t = Ÿ0
                                      ∞
                                                −p t        ∞ −p t          1
                                                                       t=   p
                                  0
   В пакете Mathematica функции Хэвисайда q[t] обозначается UnitStep[t]

Plot@UnitStep@tD, 8t, −10, 10

Страницы