Преобразование Лапласа. Свойства и применения. Глушко А.В - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

‡ Приведём пример такой функции. Положим
f38@t_D = IfAt ≥ 0, CosA
π

2
J
t

2
− IntegerPartA
t

2
ENE,0E;
Plot@f38@tD, 8t, −0.5, 6.5<, PlotRange → 80, 1<D
1 2 3 4 5 6
0.2
0.4
0.6
0.8
1
L@f38@tDD@pD→
1

H1 −
−p 2
L
‡
0
2
f38@tD∗
−pt
t
SimplifyA
‡
0
2
CosA
π

4
tE∗
−pt
tE
16 p + 4
−2p
π

16 p
2
+π
2
L@f38@tDD@pD=
1

H1 −
−p 2
L
∗
16 p + 4
−2p
π

16 p
2
+π
2
4. Обратное преобразование Лапласа
Теорема 4.1 (основная). Пусть функция f[t] удовлетворяет условию
(1.1) и F[p] её изображение. Тогда в любой точке t>0, в которой
функция f[t] дифференцируема, справедлива формула представления
f[t]=
1

2 π
‡
σ
−∞
σ+
∞
F@pD
pt
p, σ>α (4.1)
Доказательство. Рассмотрим функцию g[t]=f[t]*‰
-s
t
(s>a). Очевидно,
функция g[t] интегрируема на (0,) и дифференцируема в точке t>0.
Рассматривая F[p] как преобразование Фурье функции g[t], применим
формулу обращения преобразования Фурье
12
                                                           12



 ‡ Приведём пример такой функции. Положим




                                           J − IntegerPartA ENE, 0E;
                                         π  t              t
f38@t_D = IfAt ≥ 0, CosA
                                         2  2              2
Plot@f38@tD, 8t, −0.5, 6.5<, PlotRange → 80, 10, в которой
функция f[t] дифференцируема, справедлива формула представления
                                             ‡              F @pD
                                                  σ+ ∞
                                     1                                pt
                      f[t]=         2π
                                                                               p, σ>α   (4.1)
                                                 σ− ∞


  Доказательство. Рассмотрим функцию g[t]=f[t]*‰ -s t (s>a). Очевидно,
функция g[t] интегрируема на (0,¶) и дифференцируема в точке t>0.
Рассматривая F[p] как преобразование Фурье функции g[t], применим
формулу обращения преобразования Фурье

Страницы