Преобразование Лапласа. Свойства и применения. Глушко А.В - 14 стр.

                                            14




 предварительно обладать информацией о свойствах исходного оригинала
f[t]. В следующей теореме устанавливается формула обращения при
достаточных условиях только на изображение F[p].
    Теорема 4.2. Пусть F[p] аналитическая в полуплоскости Rep>a
функция, удовлетворяющая условиям
   4.2.1. При любом s>a существует интеграл
              J1=‡        » F @σ +          ξD »
                     ∞
                                                    ξ

  4.2.2. Для GR = 8z » Â; » z » = R; Rez ≥ s ≥ s0 > a<-дуги окружности
                     −∞


радиуса R с центром в точке (s,0)
                     MR = max pŒGR »F[p]»Æ0 при RÆ•
  Тогда F[p] есть изображение функции f[t], представленной
  формулой (4.1) (s≥s0 >a).
   Доказательство. Рассмотрим прямоугольный контур G[s1,s2,r] (см.
рис.4.1). По теореме Коши интеграл J[s1,s2,r] по контуру G[s1,s2,r]
равен нулю. Перейдём к пределу в J[s1,s2,r] при rض. Легко убедиться,
что интегралы по верхней и нижней сторонам прямоугольника стремятся
к нулю при rض, а интегралы по боковым сторонам в пределе
оказываются равными по величине. Таким образом, интеграл (4.1) не
зависит от выбора s¥s0 >a.
  Докажем, что построенная по формуле (4.1) функция f[t] действительно
является оригиналом заданной функции F[p]. Прежде всего заметим, что

                                         ƒ
                                         ƒ               ƒ
                                                         ƒ
для интеграла (4.1) справедлива оценка
            »f[t]»≤                      ƒ
                                         ƒ F @σ +        ƒ
                                                         ƒ
                                ‡        ƒ
                                         ƒ               ƒ
                                                         ƒ
                                    ∞

                                         ƒ
                                         ƒ               ƒ
                                                         ƒ
                          σt

                          2π
                                                    ξD       ξ
                                    −∞
 Отсюда следует, что интеграл (4.1) равномерно по tœ(0,Т) сходится.
 Докажем, что f@tD =0 при t<0. Для этого рассмотрим интеграл JR по
замкнутуму контуру gR в полуплоскости Rep ¥ s0 (s0 >a), состоящему из
дуги окружности GR радиуса R и отрезка прямой (см. рис.4.2). По теореме
Коши
                           ‡        F @pD     pt
                                                    p =0
                               γR


   В силу леммы Жордана интеграл по дуге окружности стремится
 к нулю при t<0 и Rض. Оставшийся интеграл в пределе переходит в
интеграл по прямой Rep=s, равный нулю при t<0. Следовательно,
f@tD =0 при t<0.