Преобразование Лапласа. Свойства и применения. Глушко А.В - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Покажем, наконец, что преобразование Лапласа в точке p=q (Req>
a
)
совпадает с F[q]. С помощью формулы Коши находим при
a
<Rep<Req
‡
0
∞
f@tD
−qt
t=
‡
0
∞
i
k
j
j
j
j
1

2 π
‡
σ−∞
σ+
∞
F@pD
pt
p
y
{
z
z
z
z
−qt
t=
1

2 π
Ÿ
σ
−∞
σ+
∞
F @pD
‡
0
∞
H
p
−
q
L
t
t
p=
−1

2 π
Ÿ
σ−∞
σ+
∞
@
p
D

p
−
q
p=
1

2 π
‡
γ
R
F @pD

p−q
p=F[q]
При выводе мы учли, что интеграл по прямой можно заменить на
интеграл по замкнутуму контуру g
R
, так как
»
1

2 π
‡
Γ
R
F @pD

p−q
p »≤
1

2
π
‡
Γ
R
»F@pD»

»p−q»
p≤
M
R
2
π R



2 π HR−»
q
»L
→0 при R→∞
Замечание 4.1. Мы используем лемму Жордана в следующей
формулировке
Лемма Жордана. Пусть t > 0 и С
R
+
- полуокружность радиуса R в
полуплоскости Rez¥0. Если функция g[z] удовлетворяет условиям
1
0
функци
я
g@zD непрерывна при Rez ≥ 0, »z … ¥ R
0
> 0
2
0
M
R
= max
zœС
R
+
»g@zD»Ø 0RÆ•
Тогда
‡
С
R
+
g@zD
−zt
z Æ 0 при R ض
Доказательство леммы б
у
дет приведено в дальнейшем.
5. Пример на вычисление преобразования Лапласа
Задача. Найти преобразования Лапласа функции f@tD= t
-b
,0<b<1
L@f@tDD@pD=
Γ@1 −βD

p
1−β
H5.1L
Здесь введена гамма - функция Γ@zD =
‡
0
∞
t
z−1
∗
−t
t, Rez > 0.
Рассмотрим вначале L@f @tDD@pD при р > 0. С помощью простой замены
переменной находим
L[f[t]][p]=
Ÿ
0
t
-
b
*‰
-p
t
„
t=
p
b
ÅÅÅÅÅÅÅ
p
Ÿ
0
t
-b
*‰
-t
„t=
1
Å
ÅÅÅÅÅÅ
Å
ÅÅ
Å
p
1-b
Ÿ
0
t
-1+H1-
b
L
*‰
-t
„
t =
G
@
1
-
b
D
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
p
1-b
15
                                                                            15




  Покажем, наконец, что преобразование Лапласа в точке p=q (Req>a)

                                                       i                                             y
совпадает с F[q]. С помощью формулы Коши находим при a 0 и СR + - полуокружность радиуса R в

10 функция g@zD непрерывна при Rez ≥ 0 , » z … ¥ R0 > 0
полуплоскости Rez¥0. Если функция g[z] удовлетворяет условиям


20 MR = maxzœСR + » g@zD » Ø 0 R Æ •
Тогда
                   ‡
                                           −z t
                                g@zD                  zÆ0               при R Ø ¶
                       СR   +


Доказательство леммы будет приведено в дальнейшем.


Задача. Найти преобразования Лапласа функции f @tD = t-b , 0 < b < 1
 5. Пример на вычисление преобразования Лапласа


                                                                                                                      H5.1L
                                                  Γ@1 − βD
                   L@f@tDD@pD =
                                                      p1−β

Здесь введена гамма - функция Γ@zD = ‡ tz−1 ∗
                                                                                        ∞
                                                                                                    −t
                                                                                                             t, Rez > 0.

 Рассмотрим вначале L@f @tDD@pD при р > 0. С помощью простой замены
                                                                                        0


 переменной находим

L[f[t]][p]=Ÿ0 t-b * ‰- p t „ t= ÅÅÅÅppÅÅ Ÿ0 t-b * ‰-t „ t= ÅÅÅÅÅÅÅÅ
                                                            p1-b Ÿ0
                                ¶                          b
                                                               1    ¶                                    ¶
                                                                  ÅÅÅ t-1+H1-bL * ‰-t „ t =

 G@1-bD
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
   p1-b
       ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

Страницы