Преобразование Лапласа. Свойства и применения. Глушко А.В - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Лемма Жордана . Пусть t > 0 и С
R
+
- полуокружность радиуса R в
полуплоскости Rez¥0. Если функция g[z] удовлетворяет условиям
1
0
функци
я
g@zD непрерывна при Rez ≥ 0, »z » ¥ R
0
> 0
2
0
M
R
= max
z∈С
R
+
»g@zD»→ 0R→∞
‡
С
R
+
g@zD
−zt
z → 0 при R →∞
Доказательство. Сделаем замену переменной интегрирования z=R‰
Âj
(-
p
Å
Å
Å
Å
2
§j§
p
ÅÅÅÅÅÅ
2
). Тогда справедлива оценка интеграла
»
‡
С
R
+
g@zD
−zt
z»≤ M
R
R
‡
−
π

2
π

2
−tRCos@ϕD
ϕ=
2M
R
R
‡
0
π
2
−tRCos@ϕD
ϕ=2 M
R
R
‡
0
π

2
−tRSin@ϕD
ϕ
Как известно, при 0§j§
p
ÅÅ
Å
Å
2
Sin[j]¥
2
ÅÅ
Å
Å
p
j. Продолжим оценку интеграла
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
‡
С
R
+
g@zD
−zt
z » ≤ 2 M
R
R
‡
0
π

2
−tR
2

π
ϕ
ϕ=
M
R
π

t
H1 −
−t
R
L≤
M
R
π

t
→0
при Rض. Лемма доказана.
Лемма Жордана (вариант 2). Пусть t > 0 и С
R
-
- полуокружность
р
адиуса R в полуплоскости Rez§0. Если функция g[z] удовлетворяет
условиям
1
0
функци
я
g@zD непрерывна при Rez ≤ 0, »z … ¥ R
0
> 0
2
0
M
R
= max
z∈С
R
−
»g@zD»→ 0R→∞
Тогда
‡
С
R
−
g@zD
zt
z → 0 при R →∞
Лемма Жордана (вариант 3). Пусть t > 0 и С
R
+
- полуокружность
р
адиуса R в полуплоскости Imz¥0. Если функция g[z] удовлетворяет
условиям
17
                                                               17



Лемма Жордана . Пусть t > 0 и СR + - полуокружность радиуса R в
полуплоскости Rez¥0. Если функция g[z] удовлетворяет условиям

10 функция g@zD непрерывна при Rez ≥ 0 , » z » ¥ R0 > 0

20 MR = maxz∈С+ » g@zD » → 0                               R→∞
                              R




                       ‡                                               при R → ∞
                                            −z t
                                  g@zD             z→0
                           СR +


Доказательство. Сделаем замену переменной интегрирования z=R‰ Âj
                 p
(- ÅÅÅÅp2 § j § ÅÅÅÅÅ2Å ). Тогда справедлива оценка интеграла

»‡                                       z»≤ MR R‡
                                                       π
                                                       2
                            −z t                           −t R Cos@ϕD
              g@zD                                                                  ϕ=
          +                                            π
     СR                                            −

2 MR R ‡                                    ϕ=2 MR R ‡
                   π                                   2       π
                   2                                           2
                       −t R Cos@ϕD                                     −t R Sin@ϕD
                                                                                         ϕ
               0                                           0

 ƒ
 ƒ
  Как известно, при 0§j§ ÅÅÅÅp2 Sin[j]¥ ÅÅÅÅp2 j. Продолжим оценку интеграла
 ƒ
 ƒ
 ƒ
 ƒ ‡                                      z » ≤ 2 MR R ‡                                 ϕ= MRt π H1 −        RL ≤
 ƒ
                                                                   π



 ƒ
 ƒ СR +
                                                                   2
        g@zD                      −z t                                   −t R   2
                                                                                π   ϕ                    −t
                                                               0

MR π
 t        →0

при Rض. Лемма доказана.

   Лемма Жордана (вариант 2). Пусть t > 0 и С R - - полуокружность
радиуса R в полуплоскости Rez§0. Если функция g[z] удовлетворяет
условиям

10 функция g@zD непрерывна при Rez ≤ 0 , » z … ¥ R0 > 0

20 MR = maxz∈С−R » g@zD » → 0                          R→∞

Тогда
                       ‡                                           при R → ∞
                                            zt
                                  g@zD             z→0
                           СR −

                                                                                              +
  Лемма Жордана (вариант 3). Пусть t > 0 и СR - полуокружность
радиуса R в полуплоскости Imz¥0. Если функция g[z] удовлетворяет
условиям

Страницы