Преобразование Лапласа. Свойства и применения. Глушко А.В - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

F[p]=
‚
n=0
∞
C
n

p
n
Так как F[p] изображение Лапласа, то F[p]
Ø
0 при Rep
ض
(см. лекцию
1). Это означает, что коэффициент C
0
=0. В силу свойства 3.6
L
@t
m
D
=
m
!
ÅÅÅÅÅÅÅ
Å
Å
Å
Å
Å
p
m
+
1
H
l
=
0L и поэтому обратное преоразование Лапласа
L
-
1
A
ÅÅÅÅÅÅÅ
Å
Å
Å
Å
Å
p
m
+
1
E
=
t
m
ÅÅÅ
Å
ÅÅ
Å
Å
m
!
. Следовательно, можно рассмотреть
L
-1
@F@pDD=
‚
n=1
C
n
L
-1
A
1
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
p
n+1
E=
⁄
n=0
C
n+1
t
n
Å
ÅÅ
Å
Å
Å
n
!
Воспользуемся далее неравенством Коши для коэффициентов ряда
Лорана »C
m
ȤM
R
m
при некоторых M>0 и R>0 Тогда tœR
»f[t]»§»
⁄
=
C
n+1
»
t
»
n
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
!
Ȥ
‚
=
…C
n+1
…
»
t
»
n
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
n
!
§
‚
=
M R
-n-1
»
t
»
n
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
n
!
§
MR
‚
=
R
n
»
t
»
n
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
n
!
§MR ‰
R »
t
»
Таким образом, ряд сходится во всей плоскости и определяет целую
функцию f[t].
Пример на применение первой теоремы разложения
Найти оригинал f[t] по её изображению F[p]=
p
-2 m+1
*„
-
1
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
4 p
, m=1,2,...
. Как известно, ‰
z
=
‚
k
=0
1
ÅÅÅÅÅÅ
k !
z
k
. Поэтому
F[p]=
‚
k
=0
H-1
ê
4L
k
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
k ! p
k+2 m-1
=
‚
k
=0
H-1
ê
4L
k
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
k ! p
k+2 m-2+1
. Следовательно, по первой теореме
р
аложения функция f[t] представима в виде суммы
f[t]=
‚
k=
0
∞
H−1 ê4L
k

HkL!
t
k+
2
m
−
2

H
k+2
m
−2
L
!
,
которую можно записать также через гипергеометрическую функцию
FullSimplifyA
„
k=0
∞
H−1 ê4L
k

k!
∗
t
k+2 m−2

Hk + 2 m − 2L!
,t> 0E
t
2 H−1+mL
Hypergeometric0F1RegularizedA−1 + 2m,−
t

4
E
19
                                                         19




                                          F[p]= ‚ pnn
                                                     ∞
                                                  C
                                                    n=0

 Так как F[p] изображение Лапласа, то F[p] Ø0 при Repض (см. лекцию

  L @tm D = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
                   ÅÅÅÅ Hl = 0L и поэтому обратное преоразование Лапласа
1). Это означает, что коэффициент C0 =0. В силу свойства 3.6
              m!

L -1A ÅÅÅÅÅÅÅÅ
             ÅÅÅÅ E = ÅÅÅÅ
             pm+1
          1          m t
       pm+1            mÅ!ÅÅÅ . Следовательно, можно рассмотреть

                         L @F@ pDD = ‚ Cn L-1 A ÅÅÅÅÅÅÅÅ
                                                       ÅÅÅÅÅÅ E = ⁄¶
                                                ¶
                                 -1                  1                       tn
                                                    n+1            n=0 Cn+1 ÅÅÅÅ
                                                                               !Å
                                     n=1
                                                 p                           n




Лорана »Cm »§MRm при некоторых M>0 и R>0 Тогда tœR
 Воспользуемся далее неравенством Коши для коэффициентов ряда



         n=0 Cn+1 ÅÅÅÅÅ!ÅÅÅ »§‚
»f[t]»§»⁄¶                                      … Cn+1 … ÅÅÅÅÅÅÅÅ §‚
                         »t»n             ¶               »t»   n         ¶              »t»  n

                          n                                n!
                                                                                M R-n-1 ÅÅÅÅ
                                                                                          n!
                                                                                            ÅÅÅÅ §
                                          n=0                             n=0


MR ‚               »t»
                     ÅÅÅÅ §MR ‰ R »t»
         ¶               n
               Rn ÅÅÅÅ
                    n!
         n=0


 Таким образом, ряд сходится во всей плоскости и определяет целую
функцию f[t].

    Пример на применение первой теоремы разложения
                                                                                                     1
 Найти оригинал f[t] по её изображению F[p]= p-2 m+1 * „ - ÄÄÄÄ4 ÄpÄÄÄÄ , m=1,2,...
                                  = ‚ ÅÅÅÅ
                                      ¶
                                        1
. Как известно,          ‰z            k!
                                         ÅÅ zk . Поэтому

                     ÅÅÅÅÅÅÅ = ‚ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
F[p]=‚ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
                                      k=0
          H-1 ê 4L                    H-1 ê 4L
        ¶                               ¶
                             k                           k

        k ! pk+2 m-1
                                               ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ . Следовательно, по первой теореме
                                  k ! pk+2 m-2+1
       k=0                             k=0
раложения функция f[t] представима в виде суммы

 f[t]=‚                  H−1 ê 4Lk
                           HkL !              Hk+2 m−2L!
               ∞
                                                tk+2 m−2       ,
               k=0


которую можно записать также через гипергеометрическую функцию

               H−1 ê 4Lk
                             ∞

FullSimplifyA„
                                                                    tk+2 m−2
                                                             Hk + 2 m − 2L !
                                                     ∗                            , t > 0E
                  k!
                             k=0

t2 H−1+mL Hypergeometric0F1RegularizedA−1 + 2 m, −                                           E
                                                                                           t
                                                                                           4

Страницы