Преобразование Лапласа. Свойства и применения. Глушко А.В - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Заметим, что все эти функции могут быть найдены в пакете Mathematica с
помощью команды InverseLaplaceTransform
InverseLaplaceTransformA
1

p
∗
−
1

4 p
,p,tE
BesselJ@0,
è!!!
t D
InverseLaplaceTransformA
−
1

4p

p
3
,p,tE
4 t BesselJ@2,
è!!!
t D
7. Вторая теорема разложения. Пусть F[p]- мераморфная функция,
регулярная в полуплоскости Rep¥a (мераморфной называется
аналитическая функция, имеющая лишь конечное число полюсов в
любой конечной части плоскости). Предположим, что
7.1. Существует система окружностей C
n
: » p » = R
n
с центрами
точке (b,0), b>a
R
1
< R
2
< R
3
< ... Æ•, n Æ• таких, что
max
p
ŒC
n
»F[p]»Æ0
R
n
Æ•
7.2. При любом s>a
‡
−∞
∞
»F@σ+ξD»ξ < ∞
Тогда функция F[p] является изображением функции
f[t]=
‚
p
k
Res
p
k
@F@pD
pt
D , (7.1)
где сумма берётся по всем полюсам
p
k
функции F[p]
(вычет в точке
p
k
обозначается Res
p
k
).
Доказательство. Пусть b>a. Рассмотрим систему замкнутых контуров
g
R
n
, состоящих из полуокружностей C
R
n
радиуса
R
n
с центром точке (b,0),
асположенных в полуплоскости Rep
§
b, и отрезка [b-
Â
R
n
,b+
Â
R
n
]. По
лемма Жордана (вариант 5)
‡
C
R
n
F@pD
pt
p → 0 при R
n
→∞, t>0 (7.2)
По теореме Коши при любом n
‡
C
R
n
F@pD
pt
p=0
21
                                                 21




Заметим, что все эти функции могут быть найдены в пакете Mathematica с
помощью команды InverseLaplaceTransform


           è!!!
                                                          1
                                       1             −
InverseLaplaceTransformA                    ∗                 , p, tE
BesselJ@0, t D
                                                         4p
                                       p


                                            1
                                        − 4p



              è!!!
InverseLaplaceTransformA                         , p, tE
4 t BesselJ@2, t D
                                           p3




   7. Вторая теорема разложения. Пусть F[p]- мераморфная функция,
регулярная в полуплоскости Rep¥a (мераморфной называется
аналитическая функция, имеющая лишь конечное число полюсов в
любой конечной части плоскости). Предположим, что
   7.1. Существует система окружностей Cn : » p » = Rn с центрами
точке (b,0), b>a         R1 < R2 < R3 < ... Æ •, n Æ • таких, что
max pŒCn »F[p]»Æ0 Rn Æ •

   7.2. При любом s>a
               ‡        » F @σ + ξ D »
                   ∞
                                                         ξ<∞
                   −∞


  Тогда функция F[p] является изображением функции

                        f[t]=‚                  Res
                                                 p
                                                   @F @pD           p tD   ,         (7.1)
                                       pk        k

где сумма берётся по всем полюсам pk функции F[p]
(вычет в точке pk обозначается Res
                                p
                                   ).
                                                         k


    Доказательство. Пусть b>a. Рассмотрим систему замкнутых контуров
gRn , состоящих из полуокружностей CRn радиуса Rn с центром точке (b,0),
расположенных в полуплоскости Rep§b, и отрезка [b-ÂRn ,b+ÂRn ]. По
лемма Жордана (вариант 5)

              ‡                                                     Rn → ∞ ,   t>0
                                  pt
                        F@pD                p→0               при                    (7.2)
                  CRn




По теореме Коши при любом n
                        ‡
                                                 pt
                                  F@pD                        p=0
                            CRn

Страницы